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Es sei \( U\subset ℝ\times { ℝ }^{ 2 }\) offen und es sei \( f:U\rightarrow { ℝ }^{ 2 }  \) stetig. Für eine beliebige Lösung \( \phi =\left( \begin{matrix} { \phi  }_{ 1 } \\ { \phi  }_{ 2 } \end{matrix} \right) :J\rightarrow { ℝ }^{ 2 } \) von \( y'=f(x,y) \) definiert man die zugehörige Lösungskurve im Phasenraum \( { ℝ }^{ 2 } \) als $$ { K }_{ \phi  }\left\{ \left( \begin{matrix} { \phi  }_{ 1 }(x) \\ { \phi  }_{ 2 }(x) \end{matrix} \right)\quad |\quad x\in J \right\} . $$ Das Phasenportrait besteht aus sämtlichen Kurven \( { K }_{ \phi  } \) zu Lösungen \( \phi  \) von \( y'=f(x,y) \). Skizzieren Sie für die Differentialgleichung \( y'=Ay \) mit den folgenden Matrizen \( A\in { ℝ }^{ 2\times 2 } \) die Phasenportraits, indem Sie eine repräsentative Auswahl der Lösungskurven zeichnen:

1) $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$

2) $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$

3) $$ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} $$

4) $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} .$$

Hinweis zur 1) und 2): Drücken Sie die x-Koordinate der Lösung als Funktion der y-Koordinate aus (oder umgekehrt).

von

Wie geht man hier vor ? 

Bild Mathematik

ich finde auch keine Loesung zu dieser Aufgabe . Kann jemand helfen ?

Ich finde es nicht gerecht dass meine Frage gelöscht wird, ich hatte sie nämlich schon vorher gestellt.

Der Meinung bin ich auch, der link sollte bloß zeigen, das GL eine Antwort dazu inzwischen gegeben hat.Bitte die Antwort hierher transferieren und die andere Frage löschen.

was ist passiert ? diese Frage ist geschlossen und die andere ist als spam gemeldet ... damit ist auch die Lösung verschwunden.

hat jemand noch die antwort ?

Ich habe zum Glück die Antwort kopiert. Aber wenn Grosserloewe nochmal antworten sollte, werde ich seine Antwort als beste markieren ;)

okay, dann warte ich darauf :D

also wenn man die losung bekommt wie versteht man welche Phasenportait von der Tabelle passt dazu ?
λ_1 =2

λ_1 =1

also der Fall λ>0

1 Antwort

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Beste Antwort

Die komplette Lösung:

Bild Mathematik 

Bild Mathematik

von 92 k 🚀

Es passt dieser Fall:

λ1, λ2 > 0 ⇒ Polarradius wächst, d.h. (0,0) ist ein abstoßender Knoten. Die Tangentenrichtungen der nicht geraden Trajektorien streben bei Annäherung an (0,0) gegen die zum kleineren Eigenwert gehörige charakteristische Richtung, während sie sich für t → +∞ der zum größeren Eigenwert gehörigen charakteristischen Richtung nähern.

Könnt ihr auch mal bitte Aufgabe 3b), damit es für mich verständlicher ist..

Danke im voraus

Hallo 3b)

Nach dem gleichen Prinzip wie Aufgabe a)

Eigenwerte:

-2 und1

Eigenvektoren

v_1= -1,3

v_2 = 1 ,0

-------->

λ1 < 0   λ2 > 0 (o.B.d.A.) ⇒ (0,0) ist ein Sattelpunkt. Die nicht geraden Trajektorien schmiegen sich in der Nähe von  (0,0) an das Kreuz der charakteristischen Richtungen.

------>

Das Bild ist die entsprechende Kurve für den Sattelpunkt  (in dem Link)

ich habe bei c ) dass die eigenwerten nicht koennen bestimmen werden . ist das so ?

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