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hat man hier die Schnittstelle -1 und 1

Wie berechnet man das Integral über  2Sqrt(x^2-1) berechnen?

also wie bekommt man die Stammfunktion dafür heraus.

von

bzw was sind die Integrationsgrenzen?

a = 0 aber was ist b?

Die Integrationsgrenzen sind 0 und x. Die Stammfunktion ist nicht ganz einfach.

Die Stammfunktion wäre

Bild Mathematik

Ohne Bildung der Stammfunktion ist die Aufgabe nicht zu lösen.

Wie berechne ich die fläche??


Integral über 0 bis x von sqrt(x^2-1)

+ integal von 0 bis 0 von -sqrt(x^2-1)


so???

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F(x) = x·√(x^2 - 1) - 2·∫(√(x^2 - 1), x, 1, x) = LN(√(x^2 - 1) + x)/2

Die Stammfunktion rechnet man wie folgt

http://www.integralrechner.de/#expr=%E2%88%9A%28x%5E2%20-%201%29

von 286 k

wie kommst du darauf das der Flächeninhalt

sich aus  1/2x mal  Sqrt(x^2-1)  - Integral über Sqrt(x^2-1) bilden lässt=???

Naja. Das ist eine Fläche zwischen zwei Graphen. Also Fläche unter dem Oberen Graphen das ist aber nur ein Dreieck minus Fläche unter dem unteren Graphen und das ist das Integral.

Oh sorry. Hatte verpennt das mal 2 zu nehmen. Ich berichtige das.

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Die Frage lauitet : Bestimmen sie die graue Fläche... als Funktion von x.

Betrachtet werden muß nur die Fläche oberhalb der x-Achse.
Zum Schluß muß diese mal 2 genommen werden.

Die Fläche von x = 0  bis x = 1 ist nur ein Dreieck mit Flächennihalt
A = x * f ( x ) / 2 = x^2 / 2

Ab x > 1 gilt die Differenzfunktion
d ( x ) = x  - √ ( x^2 -1 )
Die Stammfunktion ist
∫ x  - √ ( x^2 -1 ) dx
oder
∫ x  dx - ∫ √ ( x^2 -1 ) dx
x^2 / 2 - ∫ √ ( x^2 -1 ) dx

t2 = ∫ √ ( x^2 -1 ) dx ( siehe meinen Kommentar oben )

Mathematisch nicht ganz korrekt geschrieben
F ( x ) =  [ x^2 / 2 - t2] 1x
F ( x ) =  [ x^2 / 2 ]1x - [ t2] 1x
F ( x ) = x^2 / 2 - 1^2 / 2 - ( t2 ( x ) - t2 ( 1 )
F ( x ) = x^2 / 2 - 1 / 2 -  t2 ( x ) + t2 ( 1 )

Dies ist die Fläche von x = 1 bis x.

Für x ≤ 1 gilt x^2 / 2

Für x ≥ 1 gilt  ( 1^2 / 2 ) +  x^2 / 2 - 1 / 2 -  t2 ( x ) + t2 ( 1 )

von 87 k

Vergleich Lösung mathcoach und meines Matheprogramms

F ( 3 )  = 1.1387

mathecoach

F ( 3 ) = 0.8813

mathecoach : gilt die von dir gefundene Lösung erst ab x = 1 ?

Ich habe oben vergessen mit 2 zu multiplizieren. Hab es aber korrigiert

Die Fläche von x = 0  bis x = 1 ist nur ein Dreieck mit Flächennihalt 
A = x * f ( x ) / 2 = x2 / 2

Was hast du dort als Funktion genommen ? Nicht √(x^2 - 1) oder ?

Ich denke die Gerade soll vermutlich direkt im Punkt (x, √(x^2 - 1)) aufsetzen. Die Gerade hat meiner Meinung nach nicht die Gleichung f(x) = x.

Daher habe ich als Definitionsbereich für x in F(x) auch nur Werte ab 1 und nicht von 0 bis 1.

Die Gerade beginnt im Ursprung und lautet f ( x ) = x
Eine andere Deutung kann ich dem Graph nicht entnehmen.

Warum vermutest du das es der Graph von f(x) = x ist? Steht das irgendwo ?

Hier eine größere Skizze so wie ich das sehe. Ich habe mal f(x) = x mit eingezeichnet.

Bild Mathematik

Ich denke du hast recht.

Ich habe die Skizze und die Beschriftung aufgefaßt als
- gesucht ist die graue Fläche zwischen der Geraden f ( x ) = x
und der Funktion g ( x ) = √ ( x^2 -1 ) in Abängigkeit vom variablem x.

Richtig wird sein
Eine Gerade durch den Ursprung ( m ist variabel ) und die Funktion
g ( x ) = √ ( x^2 -1 ) schneiden sich an beliebigen Stellen x
Berechne die graue Fläche...

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