Gegeben sei die Anfangswertaufgabe y' = Ay mit

Question

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ und der Anfangsbedingung $y(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Betrachten Sie die Abbildung $$G:C(ℝ,{ ℝ }^{ 2 })\rightarrow C(ℝ,{ ℝ }^{ 2 }),\quad (G(\phi ))(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\int _{ 0 }^{ x }{ A\phi (t)dt. }$$

Setzen Sie ${ \phi }_{ 0 }(x)=(_{ 0 }^{ 1 })$ und ${ \phi }_{ n+1 }=G({ \phi }_{ n })$ für alle $n\in { ℕ }_{ 0 }$. Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf zeigt, dass die Funktionenfolge ${ (\phi }_{ n })_{ n\in { ℕ } }$ gleichmäßig auf jedem Kompaktum gegen die Lösung der Anfangswertaufgabe konvergiert.

1)

Berechnen Sie  ${ \phi }_{ 1 }$, ${ \phi }_{ 2 }$, ${ \phi }_{ 3 }$ und ${ \phi }_{ 4 }$ konkret.

2)

Erraten Sie die allgemeine Formel für ${ \phi }_{ n }$ und beweisen Sie diese.

Answer 1

Hi,
ausrechnen ergibt
$$\Phi_1(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ -x \end{pmatrix}$$
$$\Phi_2(x) = \begin{pmatrix} 1 - \frac{x^2}{2} \\ -x \end{pmatrix}$$
$$\Phi_3(x) = \begin{pmatrix} 1-\frac{x^2}{2} \\ -x + \frac{x^3}{6} \end{pmatrix}$$
$$\Phi_4(x) = \begin{pmatrix} \frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{22}+1 \\ -x + \frac{x^3}{6} \end{pmatrix}$$
und das verallgemeinert
$$\Phi_\infty(x) = \begin{pmatrix} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ -\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(x) \\ -\sin(x) \end{pmatrix}$$
Das ergibt sich auch aus der Dgl. $y'(x) = A y(x)$

Die Lösung ist nämlich

$$y(x) = e^{Ax} y_0 = \begin{pmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & \cos(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(x) \\ -\sin(x) \end{pmatrix}$$

Comments

Wie bist du bei der A vorgegangen? Wie ist da genau die rangehensweise zum errechnen der Werte?

---

Hi,

rechne $A \Phi(t)$ aus und integriere das Ergebnis und addiere den Anfangswert, dann hast Dein neues $\Phi(t)$. Damit kannst Du dannn den nächsten Wert ausrechnen.

Zu Beginn also

$$\Phi_1(x) = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + \int_0^x Ay_0 dt = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + \int_0^x \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix} 1 \\ -x \end{pmatrix}$$ usw.

---

Φ_n stimmt aber nicht für jedes n.

In einem Durchgang wird sin und im nächsten cos berechnet.

Berechne mit der Φ_n  Formel z.B. Φ₃...

---

Was ich berechnet habe ist eigentlich $\Phi_\infty$. Ich habe das oben korrigiert.

---

Ja ok, dann stimmst ;-)

---

wie berechnet man dann die zweite ? Einfach die gleiche Formel benutzen nur anstat y0 erstes Ergebnis einsetzen ? ich habe als Lösung ( 1- x² , -x ) bekommen.

---

Wo benutzt Du das y(0)?

gleiche Formel und berechnetes Φ einsetzen.

---

ja und bekomme ( 1 , 0 ) + x ( -x² / 2 , -x ) = ( 1 - x³ / 2 , -x² )

---

Du hast hier eine Matrix Multiplikation:

(1,0) + integral(A*Φ)  d.h. Matrix A * Vektor Φ

---

wenn man integriert muss auch die beide Grenzen einsetzen ? also x * ergebnis - 0 * ergebnis

---

=> 0*1+1*(-x)  ,   (-1)*1+0*(-x)  = ( -x, -1)

Das dann integrieren und mit (1, 0 ) addieren

---

Hi,

also $A \begin{pmatrix} 1\\-x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x\\-1 \end{pmatrix}$
Das Integral ergibt \begin{pmatrix} -\frac{x^2}{2} \\ -x \end{pmatrix} Damit folgt
$$\Phi_2(x) = \begin{pmatrix} 1-\frac{x^2}{2} \\ -x \end{pmatrix}$$

---

danke ullim, kann das leider nicht richtig darstellen... hoffe es ist jetzt klar ;-)

---

also mein Fehler ist ,dass ich noch mit den Grenzen x und 0 multipliziere.