wenn \( k \) Zahlen bereits gewürfelt wurden, ist die Wahrscheinlichkeit, eine neue, noch nicht gewürfelte Zahl zu würfeln
\( P_k(N) = 1 - \frac{k}{6} \),
denn die Wahrscheinlichkeit, eine alte, bereits gewürfelte Zahl zu würfeln ist
\( P_k(A) = \frac{k}{6} \).
Die Zufallsvariable \( X_k \) ist geometrisch verteilt mit \( p = 1 - \frac{k}{6} \) und gegeben durch
\( P(X_k = a) = (1-p)^{a-1}p = \left(\frac{k}{6}\right)^{a-1} \left(1 - \frac{k}{6}\right) \).
Der Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsgröße beträgt
\( \mathbb{E}[X_k] = \frac{1}{p} = \frac{1}{1-\frac{k}{6}} = \frac{6}{6-k} \).
Die Zufallsgröße \( Y \) ist
\( Y = \sum_{i=0}^{5} X_i = X_0 + X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 \).
Der Erwartungswert von \( Y \) errechnet sich, weil die \( X_k \) unabhängig sind, als Summe der Erwartungswerte der \( X_k \):
\( \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\sum_{k=0}^{5} X_k] = \sum_{i=0}^{5} \mathbb{E}[X_k] \)
\( = \sum_{k=0}^{5} \frac{6}{6-k} = \frac{6}{6} + \frac{6}{5} + \dots + \frac{6}{1} \)
\( = 1 + \frac{6}{5} + \frac{3}{2} + 2 + 3 + 6 \)
\( = \frac{10 + 12 + 15 + 20 + 30 + 60}{10} = \frac{147}{10} = 14,7 \).
Die Varianz der geometrisch verteilen Zufallsgröße \( X_k \) lautet
\( \mathbb{V}[X_k] = \frac{1-p}{p^2} = \frac{\frac{k}{6}}{\left(1-\frac{k}{6}\right)^2} \).
Da die \( X_k \) unabhängig sind, gilt auch für die Varianz ihrer Summe, dass diese der Summe der Varianzen entspricht:
\( \mathbb{V}[Y] = \mathbb{V}[\sum_{k=0}^{5} X_k] = \sum_{k=0}^{5} \mathbb{V}[X_k] \)
\( = \frac{\frac{k}{6}}{\left(1-\frac{k}{6}\right)^2} = \dots = 0 + \frac{6}{25} + \frac{3}{4} + 2 + 6 + 30 = \frac{3899}{100} = 38,99 \).
Die Standardabweichung für die Zufallsgröße \( Y \) ist übrigens folglich \( \sqrt{38,99} \approx 6,24 \).
Mister
PS: Für die geometrische Verteilung siehe hier den Link http://www.exponentialverteilung.de/geometrische_verteilung.html.
