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kann mir jemand zeigen, wie ich folgenden Grenzwert berechne?

Soll für diese Funktion eine Kurvendiskussion machen und hänge an diesem Punkt. Den Definitionsbleich habe ich vorher eingeschränkt:

D(f)= (-∞ , 0]


Kann ja hier kein x ausklammern und Regel von l'Hospital funktioniert auch nicht.

Danke für die Hilfe im Voraus!


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Warum hast du z.B. 0.5 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ?

lim (x --> -∞) LN(1 - x) / (1 - x)

Subst. z = 1 - x

lim (z --> ∞) LN(z) / z

L'Hospital

lim (z --> ∞) (1 / z) / 1 = 0

von 278 k

stimmt, Definitionsbleich muss natürlich lauten D(f)= (-∞ , 1).

Also doch mit l'Hospital.

Danke!

Noch eine Frage dazu:

Wenn ich substituiere und dann sehe, dass mein z --> 0 geht, woher weiß ich dann, dass dann auch mein x --> 0 geht?


Habe jetzt mal die "rechte Grenze = 1" in den substituierten Ausdruck eingesetzt und dann kommt 1 raus.

Die Funktion geht doch aber hier gegen minus unendlich.

x geht gegen 1-h.

z geht dann gegen 1 - x also 1 - (1-h) also 0+h.

lim (z --> ∞) LN(z) / z = - ∞ / 0+ = 

glaube das ist das, was mir gerade Probleme bereitet.

was bedeutet jetzt hier das h?

Kann das gerade nicht wirklich nachvollziehen :/

Das h ist eine infinitisimal kleine Größe. Ich wollte zuerst nur 1- schreiben. Das schreibt man normalerweise. Ich habe mich dann aber für das 1 - h entschieden um dir klarer zu machen gegen welchen Wert die Unbekannten laufen.

+1 Punkt

für x-> 0 brauchst du nur x= 0 einzusetzen.

Zähler ln(1-0) = ln(1) = 0

Nenner (1-0) = 0

Zähler/Nenner = 0/1 = 0. Fertig.

Sowohl h(x) = ln(1-x) als auch g(x) = 1-x sind in x=0 stetig. Vgl.

 ~plot~ ln(1-x); 1-x ~plot~ 

von 148 k

ok, das heisst ich kann immer substituieren und der Grenzwert bleibt der gleiche?


Und wie komme ich nun auf die -∞ wenn ich x -->1 laufen lasse?

für x->0 brauchst du nicht zu substituieren. Vgl. meine Rechnung.

Für x-> 1 ist eine Substitution sinnvoll.

limes ln(1-x)/(1-x)      für x gegen 1-   (von links)  | Subst. z = 1-x

= limes ln(z)/z        für z gegen 1+ (von rechts) | vielleicht Subst. u = ln(z)

= limes u/e^{u}     für u gegen "Was denkst du?"

~plot~ ln(x); e^x ~plot~ 

...

Für x-> 1 ist eine Substitution sinnvoll.

limes ln(1-x)/(1-x)      für x gegen 1-   (von links)  | Subst. z = 1-x


...


so weit bin ich und GENAU da liegt mein problem.
Bild Mathematik

warum gehst du dann von einmal von rechts an die 1, nachdem du substituiert hast. Und dann nochmal mit u substituieren? Das verwirrt mich komplett.
Gibt es nicht eine einfache Möglichkeit mein Aufgeschriebenes zur Lösung zu bringen?
Sorry, komme gerade nicht darauf.

Du brauchst eigentlich überhaupt nicht substituieren, wenn dich das verwirrt. Ich habe es gemacht, damit der Ausdruck für dich einfacher ist. Du kannst u = ln(z) substituieren, wenn du mit dem Grenzwert von e^u besser klar kommst als mit ln(z).

Beide Substitutionen sind aber nicht notwendig. Es geht auch ganz ohne.

"Beide Substitutionen sind aber nicht notwendig. Es geht auch ganz ohne."

ok, das war das Stichwort :D 

Jetzt komme ich auf das Ergebnis.

Danke!

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