Konvergenzbereich einer Potenzreihe + Funktion dieser Potenzreihe

Question

ich soll den Konvergenzbereich der Potenzreihe bestimmen und zusätzlich sagen, welche Funktion diese Potenzreihe im Konvergenzbereich darstellt.

$$ 1+\frac { 1 }{ 2 }x + \frac { 1 }{ 4 }{ x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 8}{ x }^{ 3 } +\frac { 1 }{ 16 }{ x }^{ 4 }$$

Ich habe 2 Wege angefangen:

Einmal habe ich die Summe einer geometrischen Reihe versucht auszurechnen:

$$ \frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ { 2}^{ n } }} =1$$

und dann habe ich mit Hilfe des Quotientenkriterium den Konvergenzradius versucht auszurechnen, dort habe ich dann 1/2 raus.

Ich weiß aber nun überhaupt nicht was ich machen soll...

Comments

Wie sieht das ganze dann bei

1+1/(4*2)x+1/(4^2*3)x^2+1/(4^3*4)x^3+.... aus??

mit dem Wurzelkriterium bekomme ich für r = 1/4 raus, das bedeutet dass x∈(-1/4,1/4) oder?

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Stell dazu besser in ein paar Stunden eine neue Frage. Wenn du einen Kommentar zur Frage schreibst, wird das bei den bisherigen Beantwortern nicht als Aktivität angezeigt.

Ich hätte jetzt eher r = 4 erwartet. Habe aber noch nichts gerechnet.

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r=4 ist richtig.

ak=1/(4^k*k)

r=lim k -->∞ |ak/ak+1|= lim k---> ∞ 4*(k+1)/k=4

Äußere Grenzen: x=4:

Es ergibt sich die harmonische Reihe, welche divergiert.

x=-4: Es ergibt sich die alternierende harmonische Reihe, welche nach Leibnitz Kriterium konvergiert.

--> Reihe konvergiert für x∈[-4,4)

Answer 1

Hi,

1+1/2x+1/4x^2+1/8x^3+....

=∑k=0 bis ∞  (x/2)^k

Diese Reihe konvergiert nur für x∈(-2,2), weil dann

|x/2|=|q|<1

Es handelt sich um eine geometrische Reihe:

Ergebnis: 1/(1-q)=1/(1-x/2)

Also stellt die Summe die Funktion f(x)=1/(1-x/2) dar.

Comments

Ich verstehe nicht wie du auf -2 und 2 gekommen bist...

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Lena: Du weisst, dass geometrische Reihen konvergieren, wenn |q| < 1 gilt?

Hier hat man q = x/2 .

Daher löst man |x/2| < 1  nach x auf.

|x| < 2.

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Dazu gibt es 2 Möglichkeiten:

1. Die Reihe lautet

∑k=0 bis ∞  (x/2)^k 

Setze x/2=q

Die Reihe lautet nun 

∑k=0 bis ∞  q^k

Davon weißt du, dass es eine geometrische Reihe ist, und diese nur für    -1<q<1 konvergiert.

Jetzt setzen wir für q=x/2 ein

-1<x/2<1 |*2

-2<x<2, oder anders geschrieben x∈(-2,2)

2. Nutze die quotientenregel zur Berechnung des Konvergenzradius :

∑k=0 bis ∞  (x/2)^k = ∑k=0 bis ∞  1/2^k*x^k

ak=1/2^k

r=lim k --> ∞|ak/ak+1|=lim k-->∞ 2=2

Die äußeren Grenzen x=±2 muss man bei dieser Berechnung noch separat in die Summe einsetzen und die Konvergenz prüfen, aber hier konvergieren diese nicht.

 

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Okay ja macht alles Sinn!