Berechnen Sie die Grenzwerte (n gegen unendlich). lim ( n gegen ∞) √(n4 + n2 ) - √(n4-n2)

Question

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte

1. lim ( n gegen ∞) √(n⁴ + n² ) - √(n⁴-n²)

2. lim(n gegen ∞) (1+2n)² ) / (sin(n) + arctan(n) + n² )

Merci

Answer 1

√(n⁴ + n²) - √(n⁴ - n²)

Erweitere gem. 3. binom Formel

(√(n⁴ + n²) - √(n⁴ - n²)) * (√(n⁴ + n²) + √(n⁴ - n²)) / (√(n⁴ + n²) + √(n⁴ - n²))

((n⁴ + n²) - (n⁴ - n²)) / (√(n⁴ + n²) + √(n⁴ - n²))

(n⁴ + n² - n⁴ + n²) / (√(n⁴ + n²) + √(n⁴ - n²))

(2*n²) / (√(n⁴ + n²) + √(n⁴ - n²))

(2*n²) / (n²*√(1 + 1/n²) + n²*√(1 - 1/n²))

(2) / (√(1 + 1/n²) + √(1 - 1/n²))

Betrachtung für den Grenzwert n --> unendlich

1

Answer 2

bei Ausdrücken der Form u-v, speziell wenn u oder v Wurzeln sind, hilft die 3. binomische Formel

(a-b) = (a²-b²) / (a+b)

Durch diese Umformung bekommst Du einen Bruch, der im Zähler keine Würzeln mehr hat, und im Nenner eine Addition hat, das ist besser bei Grenzwerten als eine Subtraktion, die oft unbestimmte Ausdrücke liefert.

Grüße,

M.B.

Answer 3

die Aufgabe lässt sich auch mit Taylorreihen gut lösen:

lim x --> ∞ √(x⁴+x²)-√(x⁴-x²)

=lim x --> ∞ x²*[√(1+1/x²)-√(1-1/x²)]

setze 1/x²=z , wenn x gegen unendlich geht, geht z gegen 0:

= lim z --> 0 1/z*[√(1+z)-√(1-z)]

jetzt kann man die Taylorreihe von √(1±z) an der Entwicklungsstelle z=0 einsetzen:

√(1±z) ≈1±1/2z

--> lim z --> 0 1/z*[√(1+z)-√(1-z)]= lim z --> 0 1/z*[1+1/2*z-(1-1/2*z)]=lim z --> 0 1/z*[z]=1

Answer 4

Hallo Samira,

2)

lim_n→∞  (1 + 2·n)² / ( sin(n) + atan(n) + n² )  =  

lim_n→∞  ( 1 + 4n+ 4n² ) / ( sin(n) + atan(n) + n² ) =

lim_n→∞  [ n² · (1/n² + 4/n + 4) ] / [ n² · (sin(n) / n² + atan(n) / n + 1) =

lim_n→∞  (1/n² + 4/n + 4) / (sin(n) / ( n² + atan(n) / n + 1) = 4 / 1  = 4

Diese Brucherme streben für n→∞ gegen 0 , weil die Zähler beschränkt sind und die Nenner gegen ≈ streben. [  -1≤ sin(n) ≤ 1 und  - π/2 < atan(n) < π/2 ]

Gruß Wolfgang