Grenzwert beweisen: Wie kann ich den Logarithmus verwenden?

Question

Ich soll den Grenzwert mithilfe des angegebenen Satzes beweisen, habe auch eine Idee, aber bin mir unsicher. Ich würde den Logarithmus anwenden, aber ich weiß in diesen Fall nicht wie und wann.

Answer 1

EXP(1/n) - 1 < ε

EXP(1/n) < 1 + ε

1/n < LN(1 + ε)

n > 1/LN(1 + ε)

also z.B. ε = 0.001

n > 1/LN(1 + 0.001) = 1000.5 >= 1001

Answer 2

Deine letzte Ungleichung kannst du logarithmieren

n*ln(1-eps) < ln(x)   <   n * ln( 1+eps)

nun ist ln(1-eps) negativ   und  ln(1+eps) positiv, wenn du dividierst

bekommst du (einmal bleibt < einmal wird es zu > )

n >  ln(x) /  ln(1-eps)    und    n >  ln(x) /  ln(1+eps)  

wenn also n größer ist als das max der beiden, dann ist
|  x ^1/n  - 1 | <  eps   erfüllt.