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In der Eisdiele „Parabolo“ gibt es als Attraktion das Eis in Waffeln einer besonderen Form. Diese entsteht, indem der Graph der Parabel y = ax2 mit a > 0 um die y-Achse rotiert wird. Der Betreiber möchte eine Eiskugel so in die Waffel füllen, dass sie diese im tiefsten Punkt berührt. Man ermittle alle möglichen Radien der Eiskugel in Abhängigkeit vom Parameter a.

von Mathe Olympiade 2016 - 1.Runde Kl11/12  (http://www.mlk-vk.de/files_by_name/A561_12.pdf)

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In einer Eisdiele gibt es ein Eis in Waffeln einer besonderen Form. Diese entsteht, indem der Graph der Parabel y = ax2 mit a > 0 um die y-Achse rotiert wird. Der Inhaber möchte eine Eiskugel so in die Waffel füllen, dass sie diese im tiefsten Punkt berührt.

Wie lauten alle möglichen Radien der Eiskugel in Abhängigkeit vom Parameter a?

Die Aufgabe ist bereits gestellt worden. Es ist eine Aufgabe aus einem Wettbewerb, die allein gelöst werden sollte. Hier nur so viel: Es geht um den Radius des Krümmungskreises der Parabel mit der Gleichung y=ax2 im Punkt (0/0)-.

Ich habe diese Frage zuvor noch nicht gesehen. Außerdem ist das die erste Runde, die man lösen kann, wie man möchte, da einen ja auch niemand beaufsichtigt.

2 Antworten

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Der Querschnitt der unteren Hälfte der  Eiskugel hat die Funktionsgleichung k(x) = r - √(r2-x2).  In (0/0) haben Parabel und Graph von k(x) einen gemeinsames Minimum.

Avatar von 123 k 🚀

Ich vergaß, zu erwähnen, dass in (0/0) auch die zweiten Ableitungen übereinstimmen müssen. Dann ergibt sich *****.

Ich versuche auch diese Aufgabe zu lösen verstehe jedoch ihren lösungsansatz nicht wirklich. wäre echt lieb von ihnen wenn sie diesen bisschen genauer beschreiebn

Ich weiß jetzt nicht, ob ich die allgemeine Gleichung des verschobenen Kreises und auch den Begriff des Krümmungskreises voraussetzen darf. Ohne dies sollt man sich mal für ein konkretes a (z.B. a=0.1) eine Parabel zeichnen und versuchen, einen Kreis (statt der Kugel) da hinein zu legen. Welches ist der größte Kreis (die größte Kugel), der (die) ganz in der Parabel (Rotationsparabel) liegt? Das wird auch keine einfache Sache, aber ohne allgemeine Gleichung des verschobenen Kreises und ohne den Begriff des Krümmungskreises weiß ich auch nichts Einfacheres.

Heißt das es gehen alle Radien ***** ?

Seid mir nicht böse aber dieses ist eine Wettbewerbsaufgabe und da sollten keine Lösungen online gepostet werden.

Meine Rechnung stimmt mit der von Roland überein. Ich lasse auch die Tipps so stehen, aber die richtige Lösung habe ich durch Sternchen ersetzt.

Wer wissen will ob seine eigene Lösung richtig ist, wird sich sicher bis zur offiziellen Veröffentlichung der Lösung gedulden können.

Die Fragesteller erwecken nicht den Eindruck, als wollten sie an dem Wettbewerb teilnehmen.

Und was hat das damit zu tun ob der Fragesteller teilnimmt oder nicht?!...

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Such mal im Netz nach der Formel für den Krümmungsradius.

Mehr brauch und will ich für eine Wettbewerbsaufgabe nicht sagen. Eigentlich war mein Tipp schon viel zu viel. Ich bin der Meinung, dass man Wettbewerbsaufgaben als Wettbewerb sehen sollte und diese ohne fremde Hilfe schaffen sollte. Und egal ob man sie allein schaffst oder nicht, kann man auch auf die Veröffentlichung der Lösung warten.

Avatar von 477 k 🚀

Danke. Ich versuche eigentlich die Aufgabe auch komplett fremde Hilfe zu lösen, was aber schwierig is wenn ich erst Anfang der 11 bin und die Aufgabe auf für 12 sind und mir somit ein paar Mathematischen Werkzeuge fehlen. Aber Danke für den Tipp krūmmungsradius dachte mir schon das man des damit machen muss

Muss man nicht. Das wäre aber ein sehr universeller Weg. So kann man den Krümmungsradius an jeder beliebigen Stelle bestimmen.

Wenn du in der Analysis "Krümmungen" mit der zweiten Ableitung bestimmst, dann solltest du wissen, das das erstmal nichts mit dem Krümmungsradius zu tun hat. So hat z.B. eine Parabel eine Konstante 2. Ableitung. Die Krümmung ist allerdings rein optisch für uns nicht überall gleich.

Daher also Aufpassen.

Ich kann mich daran erinnern das wir damals in der Schule mal eine Kreisgleichung aufstellen sollten. In meinem damaligen jugendlichen Leichtsinn hatte ich mir gedacht, dass ein Kreis ja überall die gleiche Krümmung hat und unsere Lehrerin gesagt hat die 2. Ableitung steht für die Krümmung. Also habe ich eine konstante 2. Ableitung genommen und zweimal integriert aber war ganz enttäuscht, dass doch nur eine Parabel heraus kam und kein Kreis :(

Zum glück hatte ich mich dann damals noch an die Definition des Kreises erinnert die besagt, das ein Kreis die Menge aller Punkte ist die zum Kreismittelpunkt den selben Abstand haben. Darüber hab ich es dann hinbekommen eine Kreisgleichung zu basteln.

Allerdings fehlte mir damals ein Internet, wo ich mich hätte gut informieren können was jetzt eigentlich die "wirkliche Krümmung" (damals fehlte mir der Begriff Krümmungsradius) ist und wie ich diese Berechnen kann. Das habe ich daher erst sehr viel später gelernt.

Die heutigen Schüler haben das sehr viel einfacher. Es gibt Google, es gibt Wikipedia und sehr gute Matheforen.

Manchmal wundert es mich, dass das Wissen der Schüler offenbar nicht mitgewachsen ist sondern eher gleichgeblieben ist, wenn nicht teilweise sogar gesunken ist :(

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