Wie kann ich beweisen, dass 2^{n+1} > (n+1)^2 ist?

Question

Hallo ihr,

ich soll mittels vollständiger Induktion beweisen, dass  n ∈ℕ   mit    n ≥ 5 : 2ⁿ > n² ist.

I.A. n=5 :

 2⁵ > 5²    (32>25 ist klar)

IS: n→n+1:

2 ⁿ⁺¹ > (n+1)²

2 ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2¹   ich könnte noch (n+1)² in (n+1)*(n+1)  umformen. Ich weiß aber ehrlich gesagt ab hier nicht mehr weiter. Bitte um eure Mithilfe.

Answer 1

2 ⁿ⁺¹ > (n+1)²     | *2  

2 ⁿ⁺² > 2*(n+1)(n+1)


und   2*(n+1)(n+1)

  = 2n^2 +4n + 2

  = n^2 + n^2 +4n + 2

=   n^2 +4n +  + n^2  +  2   #

und wegen n>5 ist  n^2 + 2 > 4 ,

also  ist  # >    n^2 +4n +  4  = ( n+2)^2

also insgesamt :


2 ⁿ⁺² > (n+2)^2     q.e.d.

Comments

und wegen n>5 ist ...

sollte heißen   " und wegen n>3 ist  ... "

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Zu zeigen war die Ungleichung für n≥5 , also einigen wir uns auf

 " und wegen n≥5 ist  ... "

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Ich bin mit  n ≥ 4  einverstanden.

Die IV ist  n = 5.
Jetzt muss im IS   n=5 → n=6  ,   n=6 → n=7  ,   n=7 → n=8  ,   ...  gefolgert werden. 
Du zeigst den Schritt  n+1 → n+2.  Damit die obige Kette läuft muss dies ab  n=4  funktioniern und nicht erst ab  n=5.

Answer 2

Zunächst einmal gilt die Ungleichung für n=1 nicht. Das ist aber nicht so wichtig.

Voraussetzung ist, dass es ein k gibt, sodass 2^k+1>(k+1)²

Behauptet wird dann, dass  unter dieser Voraussetzung auch 2^k+2>(k+2)²  gilt.

Der Beweis benötigt einen Hilfssatz, der gesondert (durch vollständige Induktion) bewiesen werden könnte: Hilfssatz: 2k+3<2^k+1

Der Beweis beginnt mit der Voraussetzung 2^k+1>(k+1)² oder 2^k+1> k²+2k+1. Hier addieren wir auf beiden Seiten  2k+3. Dann steht da 2^k+1 + 2k+3 > k²+4k+4. Links benutzen wir den Hilfssatz und schreiben etwas noch Größeres hin, als schon dasteht, rechts formen wir mit Hilfe der ersten binomischen Formel um: 2^k+1+2^k+1>(k+2)² . Und dann 2·2^k+1>(k+2)² und schließlich 2^k+2>(k+2)².

Answer 3

bei der folgenden Abschätzung benötigt man " n² > 2n+1 für n≥5 ".

Das kann man mit v. Induktion oder direkt nachweisen:

n² > 2n+1 ⇔  n² - 2n + 1 > 2  ⇔  (n-1)² > 2 ⇔_n∈ℕ   n - 1 > √2  ⇔  n > 1+√2

Induktionsschluss für  ∀n∈ℕ:  n ≥5  →   2ⁿ > n²   

2ⁿ⁺¹ = 2 * 2ⁿ  ≥_IV  2 * n² =  n² + n²   >   n² + 2n + 1  =  (n+1)²

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang, Dein Beweis ist sicher netter als meiner.

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Es gibt hier auch Leute, die meine Farben nicht mögen :-)