0 Daumen
741 Aufrufe

Herausfinden der Lösungsmenge durch Fallunterscheidung |x-1| >= |x+2|

Avatar von

4 Antworten

0 Daumen

Hi, beschrieben werden alle Zahlen \(x\), die von \(1\) mindestens soweit entfernt sind wie von \(-2\).

Avatar von 26 k

Das bedeutet, dass es genau zwei Fälle gibt: Die Zahlen rechts von \((-2+1):2\), das ist die Mitte der beiden Zahlen, und die anderen. Die letzteren bilden die Lösungsmenge.

Nach über acht Jahren hätte ich beinahe diese Frage noch einmal beantwortet...

0 Daumen

|x-1|>=|x+2|

Fallunterscheidung:

i) x<-2

-(x-1)>=-(x+2)

-x+1>=-x-2

1>=-2 wahre Aussage

ii) 1>=x>=-2

-(x-1)>=x+2

-x+1>=x+2

-2x>=1

x<=-1/2

iii) x>1

x-1>=x+2

-1>=+2

keine Lösung

Gesamtlösung:

x<=-1/2

Avatar von 37 k
0 Daumen

Hi,

Du kannst die Fälle

$$ (1) \quad x-1 \ge 0 \wedge x+2 \ge 0 $$

$$ (2) \quad x-1 \ge 0 \wedge x+2 \lt 0 $$

$$ (3) \quad x-1 \lt 0 \wedge x+2 \ge 0 $$

$$ (4) \quad x-1 \lt 0 \wedge x+2 \lt 0 $$

unterscheiden.

Fall (1) hat die leere Menge als Lösung wegen \( x-1 \ge x+2 \) also \( 3 \le 0 \)

Fall (2) ebenso wegen \(  x-1 \ge -x-2 \) also \( x\ge1 \wedge x\lt -2 \wedge x \ge -\frac{1}{2}  \)

Fall (3) ergibt \( 1-x \ge x+2 \) mit der Lösungsmenge \( -2 \le x \le -\frac{1}{2} \)

Fall (4) hat die Lösungsmenge \( x \lt -2 \) wegen \( 1-x \ge -x-2 \)  also \( 3 \ge 0  \)

Also ergibt sich insgesamt \( L = \{ x \le -\frac{1}{2} \} \)

Avatar von 39 k

Wieso genau dreht sich das größer/gleich zeichen im (2) Fall um?

Hi,

wenn \( x - 1 \ge 0 \) folgt \( |x-1| = x-1 \) und wenn \( x+2 < 0 \) folgt \( |x+2| = -x-2  \) also gilt für

\( |x-1| \ge |x+2| \) dass dies zu \( x-1 \ge -x-2 \) äquivalent gilt. Also \( 2x \ge -1  \)

Hatte im Fall (2) noch Fehler die ich korrigiert habe.

0 Daumen

\(|x-1|≥ |x+2|\)

Lösungsweg ohne Fallunterscheidung:

\(\sqrt{(x-1)^2}≥ \sqrt{(x+2)^2} |^{2}\)

\((x-1)^2≥ (x+2)^2\)

\(x^2-2x+1≥ x^2+4x+4\)

\(-6x≥3|\cdot(-1)\)

\(6x≤-3\)

\(x≤-\frac{1}{2}\)

\((-∞,-\frac{1}{2}]\)

Probe, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

\(x=- \frac{1}{2} \)

\(|- \frac{1}{2}-1|≥ |- \frac{1}{2}+2|\)

\(|- 1,5|= |1,5|\)

\(x=- 1 \)

\(|-1-1|≥ |-1+2|\)

\(|-2|≥ |1|\)


Unbenannt.JPG

Avatar vor von 40 k

Darf ich dich an einen deiner letzten Beiträge (aus der beliebten Sendereihe "Antworten, die die Welt nicht braucht") erinnern?

Da hast du noch geschrieben:

Probe, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

Wie entscheidest du konkret, in welchen deiner Beiträge eine solche Probe notwendig  ist und in welchen nicht?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community