Funktion streng monoton wachsend...

Question

Gegeben sei folgende Funktion 

$$f(x)=\frac { 5{ x }^{ 2 }+3 }{ 6x } $$

Es wird nur ℝ⁺ betrachtet.

Nun ist zu zeigen, dass

1)  $$1\le x<y\quad \Rightarrow \quad f(x)\quad <\quad f(y)$$

2) $$für\quad alle\quad x\quad \epsilon \quad \left[ 1,\quad \sqrt { 3 }  \right] \quad gilt\quad f(x)\quad \epsilon \quad \left[ 1,\quad \sqrt { 3 }  \right] \quad $$

Muss ich bei 1) zeigen, dass die Funktion streng monoton steigend ist? 
Bin über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Muss ich bei 1) zeigen, dass die Funktion streng monoton steigend ist?

Nein, es genügt, zu zeigen, was behauptet wird.

Comments

Okay ich habe es versucht und komme auf folgendes:

$$\frac { 5{ x }^{ 2 }+3 }{ 6x } <\frac { 5{ y }^{ 2 }+3 }{ 6y } $$

Nun beide Seiten *6:

$$\frac { 5{ x }^{ 2 }+3 }{ x } <\frac { 5{ y }^{ 2 }+3 }{ y } $$

Nun Bruch auflösen:

$$5x+\frac { 1 }{ 3 } x\quad <\quad 5y+\frac { 1 }{ 3 } y$$

x links und y rechts ausklammern:

$$x*(5+1/3)\quad <\quad y*(5+1/3)$$

nun noch beide Seiten durch 5 1/3:

$$x\quad <\quad y$$

was nach Voraussetzung erfüllt. 

Stimmt dies so oder gibt es Fehler?

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Du  musst ja die Richtung  x<y  ⇒ f(x) < f(y) zeigen.

Bei    5x + 1/3  < 5y + 1/3   ⇒  (5x² + 3) / x  <  (5y² + 3) / y   

dividierst  du links durch x und rechts durch y  

Das ist nur für  1≤ x < y  möglich, da das  < Zeichen nur dann erhalten bleibt.

Man kann das also nicht einfach so "locker" hinschreiben, wie du es getan hast :-)

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okay also habe ich die falsche Richtung gezeigt.

Wie komme ich denn zu  5x + 1/3  < 5y + 1/3   ⇒  (5x² + 3) / x  <  (5y² + 3) / y  um die Voraussetzung zu verwenden?