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Zeigen Sie formal, dass eine quadratische Gleichung genau eine Lösung hat, wenn die Diskriminante gleich Null ist.

Mein Versuch mit der ABC-Formel:

x1,2 = (-b +/- √(b2-4ac) ) / 2a

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel, also (b2 - 4ac). Wenn die Diskriminante = 0 sein soll, ist auch die Wurzel aus 0 = 0. Es bleibt

x1,2 = -b / 2a

Folglich gibt es genau eine Lösung, wenn die Diskriminante = 0.

Habe ich das damit "formal gezeigt"?

von

3 Antworten

+2 Daumen

Ich finde es gut.  Kann natürlich heißen, dass du die

Formel nicht nutzen darfst, dann musst du es mit quadr. Erg.

machen.

von 152 k
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Hallo brixx,

man sollte das wohl etwas grundsätzlicher machen:

ax2 + bx + c = 0    | : a      [ a≠0, sonst keine quadratische Gleichung ]

⇔   x2 + b/a · x + c/a  = 0   | - c/a

Quadratische Ergänzung:

⇔   x2 + b/a * x  + [ b/(2a) ]2  =  - c/a  +  b2/(4a2)  =  (b2 - 4ac) / (4a)

⇔  ( x + b/(2a) )2  =   (b2 - 4ac) / (4a)

Jetzt muss man ggf. die Wurzel ziehen und die Gleichung  hat genau dann

 genau eine Lösung  x = - b/2a , wenn die Diskriminante  gleich 0 ist

Gruß Wolfgang

von 78 k

ok, da sind mit zu viele Schritte im Kopf dabei, sorry :-)

x2 + b/a · x + c/a  = 0

Quadratische Ergänzung:

⇔   x2 + b/a  + [ b/(2a) ]2  =  - c/a  +  b2/(4a2 =  (b2 - 4ac) / (4a)

wo ist denn das x von b/a geblieben?

Bei mir stünde da: x2 + b/a*x + (b/2a)2 - (b/2a)2 + c/a = 0

(x + (b/2a))2 = (b/2a)2 - c/a

Wo ist mein Fehler??


⇔  ( x + b/(2a) )2  =   (b2 - 4ac) / (4a)

wo ist denn das x von b/a geblieben?

Das wohl ein Tippfehler.

(b/2a)2 - c/a

Wo ist mein Fehler??alles ok. Das gibt

b2 / 4a2  - c/a

= b2 / 4a2  - 4ac/4a2


= ( b2 - 4ac ) /4a2

Und das ist der gleiche Term im Zähler wie bei deinem

ersten Ansatz mit der Formel.  Also bleibt dir

 ( x + b/(2a) )2  = 0  also

x + b/(2a)  = 0x = - b /(2a)   wie oben.

@ brixx

> wo ist denn das x von b/a geblieben?

Das war ein Tippfehler, habe ihn korrigiert.

Dein Ergebnis ist ja dann das gleiche und richtig.

ja super, vielen lieben Dank.

Muss das ganze jetzt auch noch für D = kleiner bzw größer als 0 machen. Soll ich dafür eine neue Frage stellen oder kann ich gleich hier weitermachen? Falls ihr noch Lust habt? :-)

also würd gern meinen Ansatz zeigen :-)

Dann mach mal :-)

ok, wir haben ja jetzt bewiesen, dass

(x + b/2a)2 = (b2-4ac) / (4a2)

Wenn jetzt die Diskriminante, also (b2-4ac) / (4a2)<0

(x + b/2a)= - ( (b2-4ac) / (4a2) )

um jetzt weiter aufzulösen müsste ich ja die Wurzel ziehen und das darf man aus negativen Zahlen bei uns nicht.

Folglich hat die Gleichung keine Lösung??

Für "keine Lösung" völlig richtig

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist - nicht nur bei euch :-) - nicht definiert.

:-) sehr gut, gib mir ein paar Minuten, dann kommt noch größer als 1 ;-)

Wir wissen wieder

(x + b/2a)= (b2-4ac) / (4a2)   weiter auflösen mit Wurzelziehen

x+ b/2a = +/- √(b2- 4ac ) / 2a

x = -b/2a +/- √(b24ac ) / 2a

x = (-b +/- √(b24ac ) ) / 2a

Diskriminante ist jetzt (b24ac )

Daraus die Wurzel ergibt ein positives und ein negatives Ergebnis. Wenn die beiden Ergebnisse zu -b addiert bzw subtrahiert werden, erhalten wir zwei unterschiedliche Ergebnisse?

Also:

x = (-b + √(b24ac ) ) / 2a

x = (-b - √(b24ac ) ) / 2a

wenn du noch irgendwo erwähnst, dass jetzt  b2-4ac) / (4a2)   > 0 gelten soll,

ist auch das völlig richtig.

Allerdings solltest du x1  bzw. x2  schreiben oder

x = (-b + √(b24ac ) ) / 2a  oder  x = (-b - √(b24ac ) ) / 2a  

Diskriminante ist  jetzt  (b24ac )

Das ist doch in jedem der drei Fälle die Diskriminante 

 

ja da hast du natürlich recht, sorry.

Aber gut, dann hab ichs ja, vielen lieben Dank :-)

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Nehme an: Diskriminante > 0. Dann gibts immer zwei reelle Lösungen.

Nehme an: Diskriminante <0 . Dann gibts keine rellen Lösungen.

Nur für D=0 ex. genau eine Lösung. Das formale Aufschreiben überlasse ich dir ;)

von 8,7 k

Das ist lieb, aber genau das ist ja meine Aufgabe.

Das dem so ist ....

Nehme an: Diskriminante > 0. Dann gibts immer zwei reelle Lösungen.

Nehme an: Diskriminante <0 . Dann gibts keine rellen Lösungen.

Nur für D=0 ex. genau eine Lösung.

steht schon in meiner Aufgabe ;-)

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