Question

Es seien M und N (nicht notwendigerweise endliche) Teilmengen eines Vektorraums V . Zeigen Sie: 

1. (a)  ⟨M⟩=⟨N⟩⇐⇒M⊆⟨N⟩undN⊆⟨M⟩.

2. (b)  Ist x∈⟨M⟩und gilt m∈⟨N⟩für alle m∈M , so folgt x∈⟨N⟩.

Comments

Bezeichnet $< M >$ den von $M$ aufgespannten Untervektoraum von $V$?

Answer 1

 zu:    ⟨M⟩=⟨N⟩  ⇒   M⊆⟨N⟩  und   N⊆⟨M⟩

Es ist  M⊆⟨M⟩ denn jedes El. x von M lässt sich als Linearkombination

von Elementen aus M in der   1*x darstellen.   Und wegen  ⟨M⟩=⟨N⟩ 

also auch   M⊆⟨N⟩ . Entsprechend auch    N⊆⟨M⟩.

zu      ⟨M⟩=⟨N⟩  ⇐   M⊆⟨N⟩  und   N⊆⟨M⟩

Sei x aus  ⟨M⟩.  Da musst du zeigen  x aus ⟨N⟩. Etwa so:

x aus  ⟨M⟩  ⇒ Es gibt für x eine Linearkombination mit Elementen von M

               x = a1*m1 + a2*m2 + ....  + an*mn #

Wegen  M⊆⟨N⟩  gibt es für jedes mi mit i=1..m eine Linearkombination

mit Elementen aus N.  Wenn man alle diese Linearkombinationen in #

einsetzt hat man eine Linearkombination für x mit Elementen von N.

Also  x aus <N>.   

Umgekehrt Sei x aus  ⟨N⟩.  Da musst du zeigen  x aus ⟨M⟩. Geht entsprechend.