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folgende Aufgabe:

Konvergenz k=13kkk \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { { 3 }^{ k } }{ { k }^{ k } } } mithilfe des Quotientenkriteriums beweisen.


Bisher bin ich so weit gekommen:

=> Quotientenkriterium

an+1an=3k+1kk(k+1)k+13k=3k3kk(k+1)k+1(k+1)3k=3kk(k+1)k(k+1) \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =\quad \frac { { 3 }^{ k+1 }*{ k }^{ k } }{ { (k+1) }^{ k+1 }*{ 3 }^{ k } } =\frac { { 3 }^{ k }*3*{ k }^{ k } }{ { (k+1) }^{ k+1 }*(k+1)*{ 3 }^{ k } } =\frac { 3*{ k }^{ k } }{ { (k+1) }^{ k }*(k+1) }

Ich muss ja zeigen dass das gegen 0 geht und komme jetzt leider nicht mehr weiter.

Hat da jemand Ahnung was ich machen könnte?

:))

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limk3kk(k+1)k(k+1)=3limk(kk+1)klimk1(k+1)=3limk(11k+1)klimk1(k+1)=3limn(11n)n1limk1(k+1)=3limn(11n)nlimn(11n)1limk1(k+1)=31e10=0 \lim_{k\to\infty}\frac { 3k^k }{ (k+1)^k(k+1) }\\=3\lim_{k\to\infty}(\frac { k }{ k+1 })^k\lim_{k\to\infty}\frac { 1 }{ (k+1) }\\=3\lim_{k\to\infty}(1-\frac { 1 }{ k+1 })^k\lim_{k\to\infty}\frac { 1 }{ (k+1) }\\=3\lim_{n\to\infty}{ (1-\frac { 1 }{ n }) }^{ n-1 }\lim_{k\to\infty}\frac { 1 }{ (k+1) }\\=3\lim_{n\to\infty}{ (1-\frac { 1 }{ n }) }^{ n }\lim_{n\to\infty}{ (1-\frac { 1 }{ n }) }^{ -1 }{ \lim_{k\to\infty} }\frac { 1 }{ (k+1) }\\=3*\frac { 1 }{ e }*1*0=0

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