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Definition: Sei (R,+,⋅) ein kommutativer Ring mit Einselement. R heißt nullteilerfrei, wenn für alle a,b∈R aus a⋅b=0 stets a=0 oder b=0 folgt.

1. ) Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement

 Zeigen Sie: Ist R ein nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und gilt ∣R∣<∞, dann ist R ein Körper.

 ( Betrachten Sie zu a∈R∖{0} die Abbildung R→R, x↦ax )

2.) Gilt die Implikation aus (a) auch, wenn man die Bedingung ∣R∣<∞ weglässt ?

3.) Gilt die Implikation aus (a) auch, wenn man die Bedingung R ist nullteilerfrei weglässt?

Kann mir da jm weiterhelfen wie es beweisen soll ? In 1 müssten ja alle axiome eines

Körpers bewiesen werden und dies wären (R,+) ist eine abelsche Gruppe,

Ist 0 das neutrale Element von (K,+), so bildet (K \{0},·) =: K∗ eine abelsche Gruppe und Distrubutivgesetz a·(b+c) =a·b+a·c.

wie mach ich das ?

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In 1 müssten ja alle axiome eines Körpers bewiesen werden ...

Ja? Die Ringaxiome kannst Du nicht beweisen, da gar kein konkreter Ring gegeben ist. Und selbst wenn. Da R schon als kommutativer Ring mit Eins (und sogar nullteilerfrei) gegeben ist, fehlt zum Nachweis, dass R sogar ein Koerper ist, nur noch die Existenz multiplikativer Inverser. Dazu hast Du einen Tipp: Betrachten Sie zu a∈R∖{0} die Abbildung R→R, x↦ax.

also muss ich nur die Existenz des multiplikativen Inversen beweisen ? ich versteh nicht ganz

was | R| < ∣<∞ heißt ja eig R ist beschränkt nach oben bzw. kleiner als unendlich was soll

das für eine rolle spielen für R ist ein Körper ?

| R| < ∞ heisst, dass R endlich viele Elemente hat. Deine Variante kommt gar nicht infrage, weil ein Ring im Allgemeinen gar nicht angeordnet ist.

Wie soll ich denn mit der Abbildung anfangen?  ich komm nicht auf den Ansatz :/  soll man auf bijektiv, surjektiv überprüfen wenn ja was bringt mich das weiter?

Bijektivitaet ist zu zeigen. Bringen tut das natuerlich die gesuchten Inversen.

Dankeschön, habe ich hinbekommen :)

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