die Punkte P und Q liegen genau dann spiegelbildlich zur Ebene, wenn ihr Differenzvektor senkrecht auf der Ebene steht und beide den selben Abstand zur Ebene haben.
Um dies festzustellen, bringe die Ebene zunächst in die Normalform. Da \(x_1+x_2+x_3=4\) kann man schreiben $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \vec{x}=4; \quad \text{mit} \quad \vec{n}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$ Damit ist schon der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene gegeben. Die Differenz $$\vec{P}-\vec{Q}=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\2 \end{pmatrix}$$ d.h. die Verbindungsgerade der Punkte P und Q steht senkrecht auf E da \(\vec{n}\) kollinear zu (bzw. ein Vielfaches von) \(\vec{P}-\vec{Q}\) ist.
Der Abstand e eines Punktes X (in Vielfachen des Normalvektors!) von der Ebene berechnet sich aus $$e_X=\vec{n}\cdot \vec{X}-d$$ also $$ e_P= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} -4=3$$ und $$ e_Q= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} -4=-3$$d.h.: $$|e_P|=|e_Q|$$ damit liegen die Punkte P und Q spiegelbildlich zur Ebene E.
Gruß Werner
