Die Seitenhalbierenden sind die Geraden, die durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der beiden übrigen Eckpunkte geht. Also für die Seitenhalbierende durch \(C\) auf \(c\) lautet die Trägergerade:
$$g_c=\frac{c_2-\frac{0+0}2}{c_1-\frac{0+1}2}\left(x-\frac{0+1}2\right)+\frac{0+0}2=\frac{2c_2}{2c_1-1}x-\frac{c_2}{2c_1-1}.$$
Dafür braucht man nur die Formel für Geraden und dass der Mittelpunkt von \(A\) und \(B\) die arithmetischen Mittel der Koordinaten von \(A\) und \(B\) als Koordinaten hat.
Dann noch eine der beiden anderen Gleichungen aufstellen (z.B. durch \(B\) und den Mittelpunkt von \(b\)) und das Gleichungssystem lösen. Du kannst auch noch die dritte Gleichung aufstellen, aber bei einem Dreieck ist die dritte Gleichung stets von den anderen beiden linear abhängig und trägt somit nichts mehr zur Lösung bei (ansonsten gäbe es ja auch im Allgemeinen keine Lösung für drei linear unabhängige Gleichungen in zwei Variablen).
Damit hast du die Teilaufgabe \(b)\). Für \(c)\) musst du dir im Klaren sein, welche Fläche du denn ausrechnen willst. Du musst die Fläche des Dreiecks ausrechnen, das begrenzt ist durch \(\overline{AB}\), \(\overline{AC}\) und \(\overline{BC}\). Den Teil der \(x\)-Achse hast du richtig identifiziert: Von \(0\) bis \(1\). Aber dann musst du die Fläche noch nach oben und unten begrenzen. Damit du den Flächeninhalt richtig ausrechnen kannst, musst du als Grenze im zweiten Integral von der \(x\)-Achse bis zu der Gerade \(g\) integrieren, solange, bis du zu \(C\) kommst. Dann integrierst du von der \(x\)-Achse bis zur Gerade \(h\). Eine kurze Schreibweise für die obere Grenze wäre hier \(\min(g(x),h(x))\).
$$A=\int_0^1\int_0^{\min(g(x),h(x))}1\text dy\text dx=\int_0^1\min(g(x),h(x))\text dx.$$
Für die Koordinaten des Schwerpunktes dann entsprechend:
$$S_1=\frac 1 A \int_0^1\int_0^{\min(g(x),h(x))}x\text dy\text dx.$$
$$S_2=\frac 1 A \int_0^1\int_0^{\min(g(x),h(x))}y\text dy\text dx.$$
Beachte aber, dass diese Formel nur stimmt, wenn \(c_1\) wie in der Skizze zwischen \(0\) und \(1\) liegt. Falls nicht, entstehen andere Formen (man kann nicht immer von \(0\) weg integrieren, weil ein Teil der Fläche die \(x\)-Achse gar nicht berührt). Geometrisch ist es immer noch ein Dreieck, aber
