Question

Eine Polynomfunktion f : R → R, y = x3 + bx2 + cx + d hat den Tiefpunkt T (−1| − 3) und enthält den Punkt P(2|15).

Geben Sie den Funktionsterm von f an! 

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Welche Hilfsmittel sollen genutzt werden? Welche Bedingungen kannst du erkennen?

Answer 1

Eine Polynomfunktion f : R → R, y = x3 + bx2 + cx + d
hat den Tiefpunkt T (−1| − 3) und enthält den
Punkt P(2|15).

f ( x ) = x^3 + b*x^2 + c * x  + d
f ´( x ) = 3 * x^2 + 2 * b * x + c

f ( -1 ) = -3
f ´( -1 ) = 0
f ( 2 ) = 15

Die Funktionsgleichungen nun mit den Variablen
aufstellen ergibt 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Dies sollte lösbar sein

Ansonsten wieder nachfragen.

Comments

Ja, klar, aber ich habe Schwierigkeiten mit Gleichungssysteme, zweite Bedingung steht davor, dass die erste Ableitung von f muss 0 sein, dass bedeutet 3 * x² + 2 * b * x + c  

-2b+c=-3

nur zwei variablen, aber in erster und dritter Bedingung steht auch d. Wie löst man das?

-2b+c=-3

4b+2c+d=7

b-c+d = -2

Danke

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f ( x ) = x³ + b*x² + c * x  + d
f ´( x ) = 3 * x² + 2 * b * x + c

f ( -1 ) = -3
f ´( -1 ) = 0
f ( 2 ) = 15

f ( -1 ) = (-1)³ + b*(-1)² + c * (-1)  + d  = -3
b - c + d = -2

f ´( -1 ) = 3 * (-1)² + 2 * b * (-1) + c = 0
3 - 2b + c = 0
2b + c = -3

f ( 2 ) = 2³ + b*2² + c * 2  + d  = 15
8 + 4b + 2c + d = 15
4b + 2c + d = 7

b - c + d = -2
2b + c = -3
4b + 2c + d = 7

b - c + d = -2
c = b + d + 2

2b + c = -3
2b + b + d + 2 = -3
3b + d = -5

4b + 2c + d = 7
4b + 2 * ( b + d + 2 ) + d = 7
6b + 3d = 3

3b + d = -5
6b + 3d = 3

6b + 2d = -10
6b + 3d = 3 
-----------------

-1d = -13
d = 13

6b + 3d = 3

6b + 39 = 3
b = -6

4b + 2c + d = 7
4*(-6) + 2c + 13 = 7
2c = 18
c = 9

f ( x ) = x³ -6*x² + 9 * x  + 13

Bitte alles kontrollieren.

Als Dank für meine Bemühungen hältst du bis
Mitternacht ein :
Ich will Vater und Mutter ehren als ob sie
meine Eltern wären.

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3 - 2b + c = 0 → 2b + c = -3  Das stimmt nicht.

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@Moliets Danke für die Fehlermeldung

Ich habe es mal nachrechnen lassen.

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

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Ich schlage mal folgenden Weg vor:

T (−1| − 3) und  P(2|15)

Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten nach oben:

T´(−1| 0) und P´(2|18) 

Nun hat der Graph hat im Extrempunkt eine doppelte Nullstelle.

Nullstellenform der Polynomfunktion 3. Grades:

\(f(x)=(x+1)^2(x-N)\) 

P´(2|18):

\(f(2)=(2+1)^2(x-N)=9(2-N)=18\)

\(N=0\)

\(f(x)=x(x+1)^2\)

Jetzt um 3 Einheiten nach unten verschieben und umbenennen:

\(p(x)=x(x+1)^2-3\)

An der Stelle x=-1 ist aber ein Hochpunkt, was ich aber für einen Fehler in der Aufgabenstellung halte.

Answer 2

Ansatz

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

Eigenschaften

a = 1
f(-1) = -3
f'(-1) = 0
f(2) = 15

Gleichungssystem

a = 1
-a + b - c + d = -3
3·a - 2·b + c = 0
8·a + 4·b + 2·c + d = 15

Errechnete Funktion

f(x) = x^3 + 2·x^2 + x - 3

Comments

Sollte bei T nicht ein Tiefpunkt sein?

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Sorry, hat Moliets schon drauf hingewiesen