Sei $$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$$ und sei $$f=f(r)$$ eine radiale Funktion. Zeigen Sie, dass
$$ \Delta f=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)\right)$$
Mein Ansatz:
$$ \Delta f = \partial ^2 _x f(r) + \partial^2_y f(r) = \partial_x (\frac{df(r)}{dr}\frac{\partial r}{\partial x}) + \partial_y (\frac{df(r)}{dr}\frac{\partial r}{\partial y}) = \\ =\frac{d^2f(r)}{dr^2}(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}) + \frac{df(r)}{dr}(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}) = \\ \frac{d^2f(r)}{dr^2} ( \frac{y^2}{r^3} + \frac{x^2}{r^3}) + \frac{df(r)}{dr}(\frac{y^2}{r^3} + \frac{x^2}{r^3}) = 1/r \frac{d^2f(r)}{dr^2} + 1/r \frac{df(r)}{dr} $$
Das Ergebnis stimmt aber nicht mit dem obigen überein. Wenn ich die gesuchte Gleichung ausschreibe steht vor dem $$\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}$$ kein 1/r.
Sieht jemand den Fehler?
