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ich habe versucht meine Aufgabe zu beweisen. :P

 Kann sie jemand kontrollieren? Bitte

Ist eine Funktion f : R → R an einer Stelle a ∈ R stetig, so gibt

es ein δ > 0, so dass f auf ]a−δ, a+δ[ stetig ist.

Beweisversuch: Gemäß ε-δ-Charakterisierung der Stetigkeit gibt es zu jedem ε > 0

ein δ > 0, so dass für x ∈ ]a−δ, a+δ[ gilt: |f(x)−f(a)| <ε/2

. Für x0, x ∈ ]a−δ, a+δ[

folgt per Dreiecksungleichung

|f(x)−f(x0)| ≤ |f(x)−f(a)| + |f(x0)−f(a)| <ε/2+ε/2

= ε .

Also gilt |f(x)−f(x0)| < ε bei festem x0 ∈ ]a−δ, a+δ[ fur alle  x ∈ ]x0−δ0, x0+δ0[

mit einem ausreichend kleinen δ0 > 0. Wegen der Beliebigkeit von ε > 0 ist f somit an jeder Stelle x0 ∈ ]a−δ, a+δ[ stetig.

von

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Beste Antwort

Ist eine Funktion f : R → R an einer Stelle a ∈ R stetig, so gibt

es ein δ > 0, so dass f auf ]a−δ, a+δ[ stetig ist.

Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiele gibt es viele. Z.B. ist  x ↦ xD(x) (D Dirichlet-Fkt.) nur im Nullpunkt stetig.

von

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