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Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibtb es für 1,1,1,2,3? Wie erhalte ich die Anzahl der Möglichkeiten( Formel)?

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wären alle Deine 5 Zahlen verschieden, könnte man die Anzahl an Kombinationen schlicht und ergreifend durch $$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120$$ ermitteln. Nun ist aber die 1 mehrfach (insgesamt 3 mal) enthalten, was bedeutet, dass 5! nicht unterscheidbare Kombinationen enthält (denn die Einsen sind nicht voneinander unterscheidbar). Ein guter Ansatz ist hierbei der Binomialkoeffizient:

Wir haben insgesamt 5 Zahlen, aus denen wir 3 Einsen auswählen. Das ergibt $$\binom{5}{3}=10$$ Möglichkeiten. Jetzt bleiben 5-3=2 Zahlen übrig. Für das Auswählen der 2 gibt es zwei Möglichkeiten, denn $$\binom{2}{1}=2$$ Schlussendlich bleibt dann nur noch eine Möglichkeit übrig, nämlich das Auswählen der verbliebenen 3 und somit $$\binom{1}{1}=1$$ Alle Ergebnisse werden miteinander multipliziert und man erhält $$\binom{5}{3}\cdot \binom{2}{1} \cdot\binom{1}{1}=10\cdot2\cdot1=20$$ mögliche Anordnungen. Es ist dabei übrigens egal, in welcher Reihenfolge Du die einzelnen Zahlen aus dem "Zahlentopf" ziehst. Du hättest auch folgendermaßen Rechnen können: $$\underbrace{\binom{5}{1}}_{\text{, erst die }2}\cdot\underbrace{\binom{4}{1}}_{\text{, dann die }4}\cdot\underbrace{\binom{3}{3}}_{\text{ und dann die Einser}}= 5\cdot4\cdot 1 = 20 $$ Das Vorgehen wird unter dem folgenden Link auch noch einmal anhand des Wortes MISSISSIPPI erklärt: http://www.oriesen.ch/kombinatorik/doku/Mississippi.pdf

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André, savest8

von

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