Frage zu Exponentialfunktionen, Stetigkeit + Monotonie

Question

Heyhoo,

ich bräuchte Eure Hilfe zu folgender Aufgabe:

Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion:

(a) Ist α ∈ (0,∞) \ {1}, so ist exp_α Ι ℝ streng monoton wachsend, falls α größer 1 und streng monoton fallend, falls α kleiner 1.

(b) exp(z) = e^z für alle z ∈ ℂ

Danke :)

Answer 1

Die Funktion f ist streng monoton steigend, wenn f''(x)>0 gilt.

Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn f'(x)<0 gilt.

a) Wir haben die Funktion f(x)=a^x . Die Ableitung der Funktion ist gleich f'(x)=a^x log(a).

Wenn a>1, dann gilt a^x >0 und log(a)>0, also  f'(x) > 0. Davon folgt es dass die Funktion für a>1 streng monoton steigend ist.

Wenn 0<a<1, dann gilt a^x >0 und log(a)<0, also  f'(x) < 0. Davon folgt es dass die Funktion für 0<a<1 streng monoton fallend ist.