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Lösen Differentialgleichung mit Trennung der Variablen und Substitution 2xyy' - x^2 = y^2. Wo liegt der Fehler?

habe folgende Aufgabe versucht zu rechnen, jedoch kommt in der Musterlösung ein anders Ergebnis raus. Wäre super, wenn mir jemand meinen Fehler erläutern könnte!


Musterlösung:

Bild Mathematik


Mein Lösungsweg:


Bild Mathematik

von

EDIT: Worauf bezieht sich der Tag Bernoulli?

und noch:  Nicht, dass ich meine, dass es falsch ist:

Wo hast du du/dx ausgerechnet?

dachte Bernoulli hätte auch etwas damit zu tun aber scheinbar doch nicht, sorry :).

Das dx habe ich auf die linke Seite gebracht und dann links und rechts vom Gleichheitszeichen integriert. Versuche das so zu machen, wie wir das in der Vorlesung hatten, auch wenn ich nicht zu 100 Prozent weiß was ich da überhaupt mache.

Mir kam auch die Frage auf, warum ich bei der Sub. grade du/dy ableite und nicht du/dx.

Ich glaube, dass es dort steckt

in der 7. Zeile von unten hast du ln|x| + ln|c| = ln|x*c|

Aber je nachdem wer größer ist, könnte dort doch auch

sowas stehen wie ln|c| - ln|x| das wäre dann  ln| c/x |  und

damit käme alles richtig raus.

1 Antwort

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Hi,

ich hätte bei der Substitution \( u(x) = \frac{y(x)}{x} \) die Funktion \( u(x) \) nach \( x \) abgeleitet und dann bekommt man

$$  u' = \frac{y' x - y}{x} $$ und daraus $$  y' = u' x + u $$

Das ergibt die Dgl.

$$ 2 u' x = \frac{1 - u^2}{u}  $$ also

$$  2 \frac{u}{1-u^2} du = \frac{1}{x} dx $$

Das stimmt dann mit der Musterlösung überein.

von 33 k

ok,

ist es falsch nach y bei der Substitution abzuleiten?

Woher weiß ich, nach was ich da ableiten muss?

Hier ist es ja so, das \( y \) eine Funktion von \( x \) ist, also deshalb muss nach \( x \) abgeleitet werden. Leitest Du nach \( y \) ab, ist allerdings \( x \) eine Funktion von \( y \), nämlich die Umkehrfunktion, dann wird das aber alles viel schwieriger.

ok, vielen dank für die Antwort!

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