Das Ölvorkommen soll vollständig abgebaut werden? Exponentialfunkion

Question

benötige Hilfe beim lösen dieser Sachaufgabe.

Das Ölvorkommen in einem Erdölfeld soll vollständig abgebaut werden. Man geht dabei von einer Förderrate aus,die durch die Funktion f mit  f(t)=(25-t)*e^0,1t beschrieben werden kann. (t in Jahren sei Abbaubeginn,f(t) in 10⁶ Barrel pro Jahr)

a) Bestimme rechnerisch zu welchen Zeitpunkt die Förderate am größten ist!

b)Berechne,wann die Förderrate am stärksten zu nimmt!

c)Zeige,dass F mit F(t)=(350-10t)*e^0,1t eine Stammfunktion von f(t) ist!

d)Wieviel Erdöl kann insgesamt aus dem Feld gewonnen werden

e)Gib eine Funktion für die gesamte geförderte Erdölmenge nach t Jahren an!

Benötige hilfe bei dieser Sachaufgabe,da ich wirklich gar keine Idee habe wie ich vorgehen muss.

Answer 1

a) Bestimme rechnerisch zu welchem Zeitpunkt die Förderrate am größten ist.

f(t) = e^{0.1·t}·(25 - t)

f'(t) = e^{0.1·t}·(1.5 - 0.1·t) = 0 --> t = 15 Jahren

b) Berechne, wann die Förderrate am stärksten zunimmt.

f''(t) = e^{0.1·t}·(0.05 - 0.01·t) = 0 --> t = 5 Jahre

c) Zeige, dass F mit F(t) = e^{0.1·t}·(350 - 10·t) eine Stammfunktion von f(t) ist.

F(t) = e^{0.1·t}·(350 - 10·t)

F'(t) = 0.1·e^{0.1·t}·(350 - 10·t) + e^{0.1·t}·(- 10) = e^{0.1·t}·(25 - t)

d) Wieviel Erdöl kann insgesamt aus dem Feld gewonnen werden?

f(t) = e^{0.1·t}·(25 - t) = 0 --> t = 25 Jahre

F(25) - F(0) = e^{0.1·25}·(350 - 10·25) - e^{0.1·0}·(350 - 10·0) = 868.2 Mio. Barrel

e) Gib eine Funktion für die gesamte geförderte Erdölmenge nach t Jahren an.

I0(t) = F(t) - F(0) = e^{0.1·t}·(350 - 10·t) - e^{0.1·0}·(350 - 10·0) = e^{0.1·t}·(350 - 10·t) - 350

Comments

Du hast mit der Produktregel abgeleitet oder?

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Und wie bist du auf e gekommen? Verstehe den rechenweg bei e) nicht eindeutig.

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Bei d.) wurde berechnet für welchen Zeitraum
das Vorkommen abbaubar ist bzw. wenn die
Förderrate 0 ist.

Dann heißt es
Förderbare Menge = [ Stammfunktion ] zwischen 0 und 25

e.)
Es wird die  Funktion
Förderbare / geförderte Menge bis zum Zeitpunkt t =
[ Stammfunktion ] zwischen 0 und t
aufgestellt

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Ja Ableitung erfolgt mittels Produktregel.

Bei e) ist der Ansatz "F(t) - F(0)". Damit berechnet man was in der Zeit von 0 bis t gefördert worden ist.

Das ist doch im Grunde die gleiche Rechnung wie d) nur das man statt 25 als obere Grenze hier ein t nimmt.