lim_(x -> 0) g (f (x)) existiert nicht

Question

f (x)= x²cos (π/x)   g (y)=sign²(y)

Es ist der limes mit x gegen 0 gemeint...

Sitze schon länger an der Aufgabe aber finde keine Lösung

g (f (x))= sign²(x²cos (π/2))  

Comments

EDIT: Was ist genau die Frage? Und:

Woher hast du

g (f (x))= sign²(x²cos (π/2))    ? 

cos(π/2) = 0. 

Answer 1

Hallo Farina,

g (f(x))  =  sign²(x²cos (π/x))  =  [ sign(x²cos (π/x)) ]²

für x → 0:

wegen  -1 ≤ cos(π/x)) ≤ 1   und  x² →_x→0   =  0   gilt    x²cos (π/x)  → 0

lim_x→0  sign² (  x²cos (π/x) )  =  1              [  sign(x) = 1 für x > 0 ; sign(x) = -1 für x < 0 ] 

lim_x→0  (g(f(x))  = 1

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,
linker und rechter Grenzwert = 1
Gilt das Ergebnis  auch für x = 0
siehe meine Antwort

π/x ist für x = 0 nicht definiert.
D = ℝ \ { 0 }

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Es fällt mir gerade auf :
Es ja nur nach lim x −> 0 gefragt
und
nicht nach x = 0

Answer 2

meine Überlegungen

f (x)= x²cos (π/x)

lim x −> 0(-)  [ π/x ] = - ∞
lim x −> 0(-)  [ π/x ] = + ∞

cos ( ∞ ) ist nicht definiert da ∞ keine Stelle
auf dem Zahlenstrahl ist

Der cos osziliert zwischen -1 .. 1

lim x −> 0   x²cos (π/x)  = 0
Die cos-Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse
x²cos (π/x)  auch.
Die Funktion wechselt, auch bei Annäherung an 0
ständig zwischen -,0,+

sign(-x) = -1
sign(+x) = +1

( sign(-x) )^2 = 1
( sign(+x) )^2 = 1

π/x ist für x = 0 nicht definiert.
D = ℝ \ { 0 }

Answer 3

wähle die Folgen

$$ { ({ x }_{ 1 }) }_{ n }=\frac { 2 }{ 2n-1 }\\{ ({ x }_{ 2 }) }_{ n }=\frac { 1 }{ 2n } $$

mit

$$\lim_{n\to\infty}{ ({ x }_{ 1 }) }_{ n }=\lim_{n\to\infty}{ ({ x }_{ 2 }) }_{ n }=0 $$

Dann folgt

Da sich die beiden Grenzwerte unterscheiden, existiert der gesuchte Grenzwert nicht.