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 $$ \sqrt { x-1 } +\sqrt { x+8 } =\quad 9 $$

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Quadriere links und rechts und später nochmals, nachdem du die einzige Wurzel, die du links noch hast, isoliert hast.

wieso komme ich auf  x = 37 ?

Betrachte die vorhandenen Antworten und die binomische Formel beim Quadrieren.

Du darfst auch deine Rechnung zeigen.

x=37 passt nicht. Probe

√(37-1) + √(37+8) = 9  

6 + √45 ≠ 9 

5 Antworten

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√(x-1) + √(x+8) = 9         quadrieren

(x-1) + 2* √(x-1)(x+8) + x+8 = 81 

2* √(x-1)(x+8) + 2x+7 = 81

2* √(x-1)(x+8)  = 74 -2x   |  : 2

√(x-1)(x+8)  = 37-x      quadrieren

(x-1)(x+8) = (37-x) 2  

        x2 +8x - x - 8 =  1369 - 74x + x2  

                     8x - x - 8 =  1369 - 74x 

                        81x =  1377

                            x= 17 

Probe (ist nötig)

x=17        √16 + √25 = 9    stimmt!



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$$ \sqrt { x+8 } + \sqrt { x-1 } = 9 $$

Nach dem Tauschen der Summanden auf der linken Seite sehen wir, dass die Differenz der Radikanden offenbar 9 ergibt, also identisch mit der Summe der Radikale (linke Seite der Gleichung) ist. Das ist schön, denn dann gilt

$$ \sqrt { x+8 } + \sqrt { x-1 } = \sqrt { x+8 }^2 - \sqrt { x-1 }^2 $$Wir dividieren durch die linke Seite und erhalten mit

$$ 1 = \sqrt { x+8 } - \sqrt { x-1 } $$eine Aussage über die Differenz der Radikale. Subtrahieren wir diese Differenz von der ursprünglichen Summe, so bekommen wir die Gleichung

$$ 2 \cdot \sqrt { x-1 } = 8 $$die leicht auf \(x=17\) führt.

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√(x+8) = 9-√(x-1). Zum ersten Mal quadrieren x+8=81-18√(x-1)+x-1 Zusammenfassen -72=-18√(x-1). oder 4=√(x-1). Zum zweiten Mal quadrieren 16=x-1 oder x=17. Probe nicht vergessen.

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√ ( x -1 ) + √ ( x + 8 ) =  9  | quadrieren
( √ ( x -1 ) )^2 + 2 * √ ( x -1 ) * √ ( x + 8 )  + √ ( x + 8 )^2  =  81
x -1  +  2 * √ [( x -1 )*( x + 8 )]  + x + 8 = 81
2*x + 7 +  2 * √ ( x^2 +7x  - 8 ] = 81
2 * √ ( x^2 +7x  - 8 ) = -2x + 74  | quadrieren
4 * ( x^2 +7x  - 8 ) = ( -2x + 74 )^2

Kannst du den Rest allein ?

Zur Kontrolle x = 17

Avatar von 2,5 k
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√(x-1) + √(x+8) = 9

ich meine, so rechnet es sich am einfachsten:

√(x-1) = 9 - √(x+8)   | 2

x-1 = 81 - 18 * √(x+8)  + x + 8   | + 18 * √(x+8)  | - x | -1

18 * √(x+8) = 90  | : 18

√(x+8) = 5  | 2

x+8 = 25 | - 8

x = 17 

Wegen des Quadrierens notwendige Probe in der Ausgangsgleichung ergibt eine wahre Aussage.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Einfacher als was? Das ist eine Variante von Rolands Vorschlag und m. E. doch ähnlich einfach oder?

> Einfacher als was?

Dann hast du ja noch 3 Auswahlmöglichkeiten.

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