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Die Aufgabe lautet :

Berechnen Sie die Stelle x, an der die Graphen der Funktion f und g die gleiche Steigung aufweisen.

g(x)=0,5*ln(x+1)+2,5    und    f(x)=(1/800)*x3-(1/40)*x2+(1/4)*x+2


Erstmal habe ich beide Funktionen Abgeleitet, g(x) habe ich mit der Produktregel abgeleitet (stimmt die Ableitung ?)

g´(x)=ln(x+1)+2,5+(0,5/x+2)   und    f´(x)=(3/800)*x2-(2/40)*x+(1/4)

dann  habe ich gleich gesetzt.

g´(x)=f´(x)

ln(x+1)+(0,5/x+2)+2,5 = (3/800)*x2-(2/40)*x+(1/4)

Jetzt hab ich keinen Plan wie ich nach x umstellen soll, das ln(x+1) bringt mich auch total durcheinander.

von

Aus welchem Umfeld stammt die Aufgabe ?

ist ein CAS zur Lösung zugelassen ?

3 Antworten

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g'(x)=0,5/(x+1). f '(x) ist richtig. Auch Gleichsetzen ist der richtige Weg.

von 103 k 🚀

Vielen Dank :)

Ja, stimmt die Ableitung von g(x) war falsch.

also mach ich dann so weiter

0,5/(x+1) = (3/800)*x2-(2/40)*x+(1/4) | *(x+1)

0,5= (3/800)*x3+(3/800)*x2-(2/40)*x2-(2/40)*x+(1/4)*x+(1/4) | -0,5

0= (3/800)*x3-(37/800)*x2+(1/5)*x-(1/4)

Pq-Formel kommt ja nicht hin, also eine Polynomdivision durchführen.

Aber ich komme auf keine Nullstelle wenn ich es mit der Wertetabelle im Taschenrechner mache.

Du multiplizierst doch ein quadratisches Polynom mit (x+1). Lass das Produkt mal so stehen (nicht ausmulttiplizieren!). Dann hast du schon eine Nullstelle

Die Nullstelle ist mit x=3 im ersten Schritt angenähert.

Also dann so

0,5/(x+1) = (3/800)*x2-(2/40)*x+(1/4)         | *(x+1) 

0,5 = (3/800)*x2-(2/40)*x+(1/4) *(x+1)       | -0,5

0     = (3/800)*x2-(2/40)*x-(1/4)*(x+1)         | :(x+1)

0     = (3/800)*x2-(2/40)*x-(1/4)

Jetzt kann ich die Abc Formel benutzen

Ne, das geht ja nicht, also mein Vorschlag^^

+1 Daumen

bei g(x) brauchst du keine Produktregel, weil 0,5 ein konstanter Faktor ist und 2.5 ein konstanter Summand, der wegfällt.

g'(x)=0.5/(x+1)=1/(2(x+1))

von 37 k

Ja, hast recht. Nach einiger Zeit nachdenken hab ich es gecheckt.


Also mach ich dann so weiter 

0,5/(x+1) = (3/800)*x2-(2/40)*x+(1/4) | *(x+1) 

0,5= (3/800)*x3+(3/800)*x2-(2/40)*x2-(2/40)*x+(1/4)*x+(1/4) | -0,5

0= (3/800)*x3-(37/800)*x2+(1/5)*x-(1/4)

Pq-Formel kommt ja nicht hin, also eine Polynomdivision durchführen.

Aber ich komme auf keine Nullstelle wenn ich es mit der Wertetabelle im Taschenrechner mache.

$$ 0.5/(x+1) = (3/800)*x^2-(2/40)*x+(1/4) | *2 \\1/(x+1)=(3/400)*x^2-(1/40)*x+1/2|*(x+1)\\1=[x+1][(3/400)*x^2-(1/40)*x+1/2]|*400\\400=[x+1][3x^2-10x+200]\\400=3x^3-10x^2+200x+3x^2-10x+200\\400=3x^3-7x^2+190x+200\\0=3x^3-7x^2+190x-200 $$

Die Nullstelle x≈1.0756 erhältst du entweder mit den Cardano-Formeln oder mit Näherungsverfahren.

Vielleicht dürft ihr auch den TR zum lösen der Gleichung verwenden.

beim Übergang von der 1. zur 2.Zeile
hast du geschrieben
( 2 / 40 ) * x * 2  => 1/ 40 * x

richtig
( 2 / 40 ) * x * 2  => 1/ 10 * x

mfg Georg

Ja es hatte sich ein Fehler eingeschlichen, danke für den Hinweis.

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Hier die Berechnungen meines Mathprogramms

Bild Mathematik
Die Nullstelle liegt bei x ungefähr 2.1

Die zusammengesetzte Funktion g1 - f1 = 0
würde sich mit z.B. dem Newtonverfahren
lösen lassen.
Besser man hat ein Matheprogramm.

Bei Bedarf nachfragen.

mfg Georg

von 112 k 🚀

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