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 Seien n ∈ N, K ein Körper und die Vektoren ei ∈ Kn für i = 1,...,n wie folgt definiert: ei : {1,...,n}→ K ist gegeben durch

ei(j) = 1, falls i = j,

ei(j) = 0, falls i ≠ j,

für alle i,j ∈{1,...,n}. Zeigen Sie, dass B = {ei :i = 1,...,n}eine Basis des Vektorraums Kn ist und schliessen Sie dim Kn = n.

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Du musst doch nur zeigen, dass die Menge B = {ei :i = 1,...,n} ein

lin. unabh. Erzeugendensystem von Kn  ist

Sei also v ∈  Kn   also  v = ( v1 , v2, .... , vn ) bzw. ihr schreibt dann wohl 

v : {1,...,n}→ K   mit v(i) = vi  für irgendwelche  vi  ∈ K .

Dann ist v = Summe i=1 bis n über  vi*ei  , also Erz.system.

und wenn   Summe i=1 bis n über  vi*ei  = 0-Vektor ist, dann

gilt für alle i , dass in ei nur eine Komponente ≠ 0 ist und die

restliche eine 1 , also steht bei jeder Komponente des 0-Vektors

   1*vi = 0    also alle vi = 0   also die ei lin. unabh.

Und wenn eine Basis n Elemente hat, dann ist dim = n.


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