Drittelung einer Diagonale im Parallelogramm

Question

Gegeben sei das Parallelogramm ABCD. M und N seien die Mittelpunkte zweier Paralelogrammseiten, auf denen A nicht liegt. Zeige: AM und AN teilen eine Parallelogrammdiagonale in 3 gleilange Teilstrecken.

Answer 1

Hi,

zeichne die andere Diagonale ein und Du hast zwei kongruente Teildreiecke. Da die ursprüngliche Diagonale die neue Diagonale halbiert, agiert diese als Seitenhalbierende. Zudem hast Du ja die Strecken AM bzw. AN welche ebenfalls Seitenhalbierende sind. Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt in dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Da beide Dreiecke kongruent sind haben wir 6 Teile welche gedrittelt werden ;).

Kann gerne auch eine Skizze nachreichen, wenn nicht klar.

Das Ganze kann natürlich auch vektoriell gezeigt werden. Auch der Beweis mit den Schwerpunkten im Dreieck, sollte das Wissen nicht gestattet sein.

Grüße

Comments

Alles (bis auf den letzten Satz) klar ausgedrückt. Skizze nicht erforderlich.

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Welchen letzten Satz?

Auch der Beweis mit den Schwerpunkten im Dreieck, sollte das Wissen nicht gestattet sein.

Mir war nicht klar, welches Wissen vorausgesetzt werden darf. Ich habe das Wissen genutzt, das Dreiecke im Verhältnis 2:1 geschnitten werden, was ihre Schwerpunkte auf den Seitenhalbierenden angeht. Mag sein, dass das nicht vorausgesetzt werden darf und gezeigt werden muss.

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Du meintest also: Auch der Beweis zu den Eigenschaften von Schwerpunkten im Dreieck, sollte das Wissen darüber nicht vorausgesetzt werden dürfen.

Nachdem du dich zur eigentlichen Aufgabe sehr klar nd verständlich ausgedrückt hattest, wird dein letzter Satz erst durch Zusatzerklärungen verständlich.

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Nun gut, wenn man den Satz herausbricht, wirds schon schwieriger. Mit dem vorangegangen Satz sollte es aber klar sein.

Wie dem auch sei. Freut mich, wenn ich helfen konnte :).

Answer 2

Du kannst das Ganze auch unmittelbar mittels Vektoren beweisen, ohne den

Satz über die Seitenhalbierenden im Dreieck zu bemühen.

Etwa so:



Vektorkette  BT + TM + MB = 0-Vektor

also mit geeigneten Faktoren x und y gilt dann

mit den Basisvektoren a und b

                  x*BD  +  y*AM - 0,5*b   = 0 - Vektor 

              x* ( -a +b )  + y * ( a + 0,5 b )  - 0,5 b    = 0 - Vektor 

sortiert nach a und b

             ( -x+y)*a   +  ( x+0,5y - 0,5 ) * b  = 0 - Vektor 

Da a,b lin. unabh. sind: -x+y=0    und     x+0,5y - 0,5  = 0  

also x = y = 1/3

Also BT = (!/3) BD  .    q.e.d.

Für den Teilpunkt N entsprechend (wenn AN die Diagonale

bei S schneidet )  mit dem Ansatz

SD + DN + NS = 0-Vektor

Comments

Der Strahlensatz reicht auch:

\(AD\) ist parallel zu  \(BM\) und \(BM= \frac{1}{2}AD\). Folglich ist \(DS_M:S_MB=2:1\) bzw. \(S_MB=\frac{1}{3}DB\)