Selbstadjungierter Operator T.... Zeige: Gilt T2=0, dann gilt auch T=0.

Question

1. Sei T ein selbstadjungierter Operator auf V ist ein Skalarproduktraum. Gilt T²=0, dann gilt auch T=0. 

   Ich weiss hier, dass T=T* ist aber was bringt mir das?

Answer 1

Nach Voraussetzung gilt $\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle$ für alle $x,y\in V$.
Wähle nun $x\in V$ beliebig und $y=Tx$. Dann gilt
$\langle Tx,Tx\rangle=\langle x,T^2x\rangle=\langle x,0\rangle=0$.
Es folgt $Tx=0$ und daraus $T=0$, also die Behauptung.

Comments

Wieso Kommentar. Das ist doch eine Lösung.

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EDIT: Umgewandelt.