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ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe der vollständigen Induktion, da ich nicht auf das Ergebnis komme. Unzwar lautet die Aufgabe:

Zeigen Sie, das für jede natürliche Zahl n größer gleich 1 gilt:


(11^{n+1})+(12^{2n-1}) ist durch 133 teilbar.


Ich würde mich freuen, wenn mir einer dabei helfen könnte.

von

Schau mal hier;

https://www.mathelounge.de/434176/zeigen-sie-vollst-induktion-fur-alle-element-durch-teilbar

Der Induktionsschritt steht in einem Kommentar von Knightfire.

1 Antwort

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Zeige durch vollständige Induktion:

11^{n + 1} + 12^{2·n - 1} ist durch 133 teilbar.

Induktionsansatz: n = 1

11^{1 + 1} + 12^{2·1 - 1} = 133

Induktionsschritt: n --> n + 1

11^{[n + 1] + 1} + 12^{2·[n + 1] - 1}

11^{n + 2} + 12^{2·n + 1}

11·11^{n + 1} + 144·12^{2·n - 1}

11·11^{n + 1} + (11 + 133)·12^{2·n - 1}

11·11^{n + 1} + 11·12^{2·n - 1} + 133·12^{2·n - 1}

11·(11^{n + 1} + 12^{2·n - 1}) + 133·12^{2·n - 1}


Erster Summand ist nach Induktionsansatz durch 133 teilbar. Zweiter Summand enthält den Faktor 133 und ist ebenso durch 133 teilbar.

von 391 k 🚀

Danke für den ausführlichen Rechenweg. Jeodhc frage ich mich wie du von 2n+1 auf 2n-1, also vom 2ten auf den 3ten Schritt kommst. An diesem Punkt kann ich es leider nicht nachvollziehen

Potenzgesetz

12^{2n + 1} = 12^{2n - 1 + 2} = 12^{2n - 1} * 12^2 = 12^{2n - 1} * 144

ahh ok. Ich frage mich jedoch ob man es schon viel früher hätte machen können. Also im Induktionsschritt wäre das dann so:


2(n+1)-1= 2n+2-1= 2n-1+2


Wäre das dann auch so ok und wäre man eigentlich schon früher fertig?

Ja das wäre auch möglich.

was sparst du dadurch ?

1ne zeile?

Verwirren kann es aber. Ich danke dir auf jeden Fall für die Hilfe.

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