Existenz- und Eindeutigkeit von Lösungen (DGL). y' = (x+y+1)^2 , y(-2)=1.

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Bild MathematikWie kann ich folgende Aufgabe lösen?

lG

Gefragt 21 Apr von Gast be1622

Tipp: Satz von Picard-Lindelöf

könntest du mir beim Ansatz helfen?

2 Antworten

+2 Daumen

Hallo,

Du hast eine Dgl. der Form \( y' = f(ax+by+c) \). Die wird substituiert mit \( z = ax+by+c \). Dann hast Du eine Dgl. \( z' = b\cdot f(z)+a \). Diese ist eine Dgl. mit trennbaren Variablen.

Grüße,

M.B.

Beantwortet 21 Apr von MatheMB Experte V
+1 Punkt

Hallo,

z= x+y+1

y=z-x-1

y' = z' -1

->eingesetzt:

z' -1 =z^2

dz/dx =z^2 +1

dz/(z^2+1)= dx

arctan(z)= x+C

z= tan(x+C)

x+y+1= tan(x+C)

y= tan(x+C) -x-1

Danach ist noch die AWB in die Lösung einzusetzen:

y= -x +tan(x+2) -1

Beantwortet 21 Apr von Grosserloewe Experte XLVI

hi, ich habe ein ähnliches problem


wie nennt man diese art das dgl zu lösen? würde mich gerne einlesen


und wieso kann man aus y'=(x+y+1)^2 | z=x+y+1 machen und man lässt das ^2 ganz weg?

Hallo,

Lösen von DGL mittels Substitution:

anbei ein Link dazu

http://www.mathepedia.de/y%27_f(axbyc).aspx

Ich habe den Ausdruck in der Klammer substituiert , nach y umgestellt und einmal abgeleitet. Dann habe ich y' und y in die Aufgabe eingesetzt und das Ganze mittels Trennung der Variablen gelöst.

Grundsätzlich kann man bei einer Substitution  z = ....    rechts hinschreiben, was man will.

Das führt aber nur bei sinnvoll gewählten z  zum Ziel. 

Und bei  y ' = f(ax+by+c) weiß man eben, dass die Substitution z = ax+by+c  mit späterer "Trennung der Variablen" zum Ziel führt.

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Ein Name für dieses Lösungsverfahren ist mir leider nicht bekannt.

habe was gefunden und hoffentlich etwas verstanden also einfach die obere frage von mir ignorieren :) MFG

Ein anderes Problem?

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