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Habe ein Problem beim Lösen folgender Aufgabenstellung:

Die Parabel hat den Hochpunkt H(1/1) und den Tiefpunkt T(-1/-1). Liegt der Wendepunkt auf der Verbindungsgeraden durch H und T?

Würde mich über einen Lösungsweg freuen :-)

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Die Parabel hat den Hochpunkt H(1/1) und den Tiefpunkt T(-1/-1). Liegt der Wendepunkt auf der Verbindungsgeraden durch H und T? 

Würde mich über einen Lösungsweg freuen :-)

Eine Parabel 3. Grades ist Punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Daher liegt der Wendepunkt auf der Verbindungsgraden durch Hoch und Tiefpunkt.

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c
f''(x) = 6·a·x + 2·b = 0 --> x = -b/(3·a)

f(x - b/(3·a)) = a·(x - b/(3·a))^3 + b·(x - b/(3·a))^2 + c·(x - b/(3·a)) + d = (27·a^3·x^3 + 9·a·x·(3·a·c - b^2) + 27·a^2·d - 9·a·b·c + 2·b^3)/(27·a^2)

Hier kann man die Punktsymmetrie zum Wendepunkt erkennen.


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Hallo Marion,

tun sie   :-)

Wie ich schon in der letzten Antwort geschrieben habe, ist der Graph einer Parabel             3. Ordnung punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

Hoch- und Tiefpunkt sind Spiegelpunkte voneinander bei der zugehörigen Punktspiegelung (Drehung des Graphen um W um 180°)

Die Strecke \(\overline{WT}\) geht deshalb durch Drehung um W um 180° in die Strecke  \(\overline{WH}\)  über. W ist also sogar der Mittelpunkt der Strecke HT.

Vgl. dazu die Skizze in der letzten Antwort.

Gruß Wolfgang

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