Summe von Kardinalitäten beweisen

Question

Ich habe keine Ahnung wie ich das hier beweisen bzw. zeigen soll, mir ist unklar, wie aus einer 1-elementigen Teilmenge aus einer 3-elementigen Gesamtmenge und einer 2-elementigen Teilmenge aus einer 3-elementigen Menge man auf eine 2-elementige Teilmenge mit 4 Gesamtelementen kommt, ich hoffe jemand kann mir helfen, oder hab ich was entscheidenes Übersehen?

Laut der Definition ist ja $$A_{k,n}$$ eine Teilmenge aus $$A_n$$ und diese Teilmenge hat die Kardinalität $$|B| = k$$, verstehe nicht wie man auf die rechte Seite kommt.

Bei der anderen Aufgabe bräuchte ich auch bitte einen Ansatz, soll das per Induktion erfolgen oder wodurch?

Answer 1

> Laut der Definition ist ja $A_{k,n}$ eine Teilmenge aus $A_n$

Nein, $A_{k,n}$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge von $A_n$.

Beispiel. $A_{3,5} = \{\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,2,5\}, \{1,3,4\}, \{1,3,5\}, \{1,4,5\}, \{2,3,4\}, \{2,3,5\}, \{2,4,5\}, \{3,4,5\}\}$

Diese Menge lässt sich aufteilen in die 2-elementigen Teilmenge von $A_4$, zu denen die 5 als neues Element hinzugefügt wurde $\{\{1,2,5\}, \{1,3,5\}, \{1,4,5\}, \{2,3,5\}, \{2,4,5\}, \{3,4,5\}\}$) und die  3-elementigen Teilmenge von $A_4$ ($\{\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}\}$).