Sei f(x)=g(h(x)). Die Kettenregel lautet: $$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$$
Die Funktion $$y=\sqrt{\frac{x^2+9}{x+3}}$$ ist eine Verkettung. Die äußere Funktion ist die Wurzel Funktion und die innere Funktion ist der Bruch: $$g(x)=\sqrt{x} \ \text{ und } \ h(x)=\frac{x^2+9}{x+3}$$
Wir müssen erstmal die Ableitung von g(x) und h(x) berechnen:
$$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ h'(x)=\frac{(x^2+9)'\cdot (x+3)-(x^2+9)\cdot (x+3)'}{(x+3)^2}=\frac{2x\cdot (x+3)-(x^2+9)\cdot 1}{(x+3)^2}=\frac{2x^2+6x-x^2-9}{(x+3)^2}=\frac{x^2+6x-9}{(x+3)^2}$$
Wir bekommen also folgendes: $$y'=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2+9}{x+3}}}\cdot \frac{x^2+6x-9}{(x+3)^2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x+3}{x^2+9}}\cdot \frac{x^2+6x-9}{(x+3)^2}$$
Um die Ableitung der Funktion $$y=(x^2+3x)(1-3\cos (4x))$$ zu berechnen wenden wir die Produktregel an: $$y'=(x^2+3x)'\cdot (1-3\cos (4x))+(x^2+3x)\cdot (1-3\cos (4x))'=(2x+3)\cdot (1-3\cos (4x))+(x^2+3x)\cdot (-3)\cdot (\cos (4x))'$$ Um die Ableitung von cos(4x) zu berechnen, wenden wir wieder die Kettenregel an und bekommen (cos(4x))'=-4sin(4x).
Wir bekommen alsp $$y'=(2x+3)\cdot (1-3\cos (4x))+(x^2+3x)\cdot (-3)\cdot (-4\sin(4x))\\ =(2x+3)\cdot (1-3\cos (4x))+12(x^2+3x)\cdot \sin(4x)$$
Um die Ableitung der Funktion $$y=\sqrt{e^{-\frac{x}{7}}+5}$$ zu berechnen, wenden wir die Kettenregel an mit g(x) die Wurzelfunktion und h(x) die Funktion die unter der Wurzel steht. Bei der Berechnung der Ableitung von h(x) wenden wir noch einmal die Kettenregel an.
