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erste ableitung zur aufgabe C)

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Um die Ableitung von $$f(x)=2c\cdot \ln \left (2x^3-4\right )$$ zu berechnen machen wir folgendes:

Erstmal wenden wir die Faktorregel an: $$f'(x)=\left(2c\cdot \ln \left (2x^3-4\right )\right )'=2c\cdot \left(\ln \left (2x^3-4\right )\right )'$$

Die Funktion ln (2x3-4) ist eine Verkettung von zwei Funktionen. Wir müssen noch identifizieren welche die innere und welche die äußere Funktion ist. Wir haben eine Logarithmusfunktion, die äußere Funktion ist also g(x)=ln(x). Statt ln(x) haben wir ln (2x3-4). Die innere Funktion ist also h(x)=2x3-4.

Die Kettenregel lautet: $$u(x)=g(h(x)) \rightarrow u'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$$ Wir müssen also die Ableitungen der Funktion g(x) und h(x) berechnen:
$$g'(x)=\frac{1}{x} \ \text{ und } \ h'(x)=2\cdot 3x^{3-1}-0=6x^2$$

Wir bekommen also $$f'(x)=2c\cdot \left(\ln \left (2x^3-4\right )\right )' \\ =2c\cdot g'(h(x))\cdot h'(x) \\ =2c\cdot \frac{1}{h(x)}\cdot 6x^2 \\ =2c\cdot \frac{1}{2x^3-4}\cdot 6x^2 \\ =\frac{6cx^2}{x^3-2}$$

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