Konstruktion von Polynomen

Question

A) Bestimmen Sie ein zum Ursprung punktsymmetrisches Polynom 3.Grades mit einer Nullstelle bei x=4.
B) Bestimmen Sie ein zum Punkt (1;0) punktsymmetrisches Polynom 3.Grades mit einer Nullstelle bei x=4.
C) Bestimmen Sie ein Polynom p 4.Grades mit den Eigenschaften: p ist gerade, der Funktionsgraph schneidet die x-Achse bei x=1 

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Answer 1

A) Bestimmen Sie ein zum Ursprung punktsymmetrisches Polynom 3.Grades mit einer Nullstelle bei x=4. 

f(x) = a*x*(x-4)*(x+4) mit a ≠ 0

B) Bestimmen Sie ein zum Punkt (1;0) punktsymmetrisches Polynom 3.Grades mit einer Nullstelle bei x=4.

g(x) = a*x*(x-3)*(x+3) mit a ≠ 0

g(x) = a*x*(x^2 - 9)

Diese jetzt noch um 1 nach rechts verschieben

f(x) = a*(x - 1)*((x - 1)^2 - 9)

C) Bestimmen Sie ein Polynom p 4.Grades mit den Eigenschaften: p ist gerade, der Funktionsgraph schneidet die x-Achse bei x=1  

f(x) = a*(x - 1)*(x + 1)*(x - b)*(x + b) mit a ≠ 0 und b ≠ 1

Answer 2

zu A

eine zum Ursprung symmetrische Fuinktion dritten Grades hat die Form

$$f(x) = ax^3+bx$$

Berechnung der Nullstellen:

$$ax^3+bx = 0$$

$$ ⇒ x = 0 ∨ (ax^2 + b) = 0 $$

Nullstelle bei x = 4 ergibt

16a + b = 0

Auflösen nach a ergibt a = -b/16

Du kannst jetzt b beliebig wählen und a berechnen, zum Beispiel: b = 1 und a = -1/16:

$$f(x) = -\frac{ 1 }{16  }x^3 + x$$

oder $$f(x) = -\frac{ 12 }{16  }x^3 + 12x$$

usw.

B) Damit sich der Graph an dem Punkt  (1|0) spiegelt, nimmst du deine Funktionsgleichung aus A und setzt für x "x-1" ein