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Bitte um Lösungsvorschlag für die o.g. Aufgabe.

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Es gilt dass $$x\cdot \cot x=x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\frac{x}{\sin x}\cdot \cos x=\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}\cdot \cos x$$ und $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

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wieso gilt das so?? ist das festgelegt für cotx?

Es gilt dass $$\cot (x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$$

wie kommst du denn mit einmal auf sinx/x=1

wie kommst du auf 1?? ich komme nicht auf 1

Kennst du die De L'Hospital Regel? Wenn ja können wir diese hier anwenden: 
Der erste Beweis wird mit die Regel von de l'Hopital geführt. Die Regel von de l'Hopital besagt, dass, wenn wir den Grenzwert eines Bruchs berechnen wollen, bei dem sowohl Zählen als auch Nenner gegen 0 konvergieren, dann können wir die Ableitung des Zählers und des Nenners bilden; der Grenzwert dieser Funktionen entspricht auch dem Grenzwert der Ausgangsfunktion. 

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{0}{0} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \ \overset{  \text{ De L'Hospital }}{ = } \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=\lim_{x\rightarrow 0}\cos x=\cos 0=1$$



Sonst könnte man es auch folgenderweise beweisen: 

Wir verwenden die Definition des Sinus, so wie er über die Taylorreihe definiert ist 

$$\sin (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{x^{2\cdot 0+1}}{(2\cdot 0+1)!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ =x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ 

Wir bekommen also $$\frac{\sin x}{x}=\frac{x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x}=\frac{x}{x}+\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x} \\ =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{x(2n+1)!} \\ =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1-1}}{(2n+1)!}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$$ Der Grenzwert ist also der folgende $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\right)=\lim_{x\rightarrow 0} 1+\lim_{x\rightarrow 0}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\right)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0^{2n}}{(2n+1)!}=1+0=1$$ 



Wir können auch folgenderweise beweisen: 

Die Definition einer Ableitung der Funktion f(x) an einer Stelle x=a ist $$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ 

Für f(x)=sin(x) und a=0 haben wir folgendes: 

$$\left( \sin (x)\right)'\mid_{x=0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)-\sin (0)}{x-0} \\ \Rightarrow \cos(x)\mid_{x=0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)-0}{x} \\ \Rightarrow \cos(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x} \\ \Rightarrow 1=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}$$  

l' hospital ist kir bekannt mit 0/0 oder unendlich/unendlich und dann 1 Ableitung bilden. ich darf aber separat ableiten bei l' hospital Zähler und Nenner, richtig?


überlege noch wie du auf sinx/x gekommen bist. so richtig nachvollziehen kann ich das noch nicht. von x*cot(x) auf sinx/x

Bei De L'Hospital leitet man den Zähler und den Nenner separat ab.


Wir haben folgendes: $$x\cdot \cot x=x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\frac{x\cdot \cos x}{\sin x}=\frac{x}{\sin x}\cdot \cos x$$

Sind diese Schritte verständlich?

ich glaube da liegt gerade mein Verständnisproblem mit dem separaten ableiten. das kann ich nicht so richtig nachvollziehen mit x*cot(x)

was genau hast du da gemacht? und wie kommst du im enddefekt auf sinx/x??

Wenn die eine Zahl oder eine Funktion mit einen Bruch multiplizieren, multiplizieren wir es mit den Zähler, also $$a\cdot \frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$


Es gilt ja $$\cot (x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$$ Wir haben also in unserem Fall $$x\cdot \cot (x)=x\cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}=\frac{x\cdot \cos (x)}{\sin (x)}$$ 
Sind bisher alle Schritte verständlich?

ja, dass ist nachvollziehbar

und wie kommst du davon jetzt auf sinx/x ?

fällt das cos(x) denn raus? wenn ich separat ableite??

Es gilt dass $$\frac{a\cdot b}{c}$$ gleich $$a\cdot \frac{b}{c} \ \text{ und } \ \frac{a}{c}\cdot b$$ ist


Wir haben also dass $$\frac{x\cdot \cos (x)}{\sin (x)}=\frac{x}{\sin (x)}\cdot \cos (x)$$ Wir multiplizieren und dividieren mit 1/x und bekommen folgendes: $$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\cdot \frac{x}{\sin (x)}\cdot \cos (x)= \frac{\frac{1}{x}\cdot x}{\frac{1}{x}\cdot \sin (x)}\cdot \cos (x)=\frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}}\cdot \cos (x)$$ Es gilt ja $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$

und die 1/x ist festgelegt bei l'hospital weil 0/0 rauskommt??

Um dann den Grenzwert zu berechnen machen wir folgendes: $$\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot \cot (x)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}}\cdot \cos (x)\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\cos (x)$$

woran genau erkennst du das du 1/x  einsetzen kannst? weil null rauskommt und es ein Bruch ist?

jetzt splittet du das aus??

wieso muss ich das separat machen mit sinus und cos

Du kannst den Grenzwert auch folgenderweise berechnen: $$\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot \cot (x)=\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin (x)}\cdot \cos (x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin (x)}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\cos (x)$$

Um den Grenzwert $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin (x)}$$ benutzt du die De L'Hospital Regel:
 $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin (x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x)'}{(\sin (x))'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos (x)}=\frac{1}{\cos (0)}=\frac{1}{1}=1$$

Der zweite Grenzwert ist: $$\lim_{x\rightarrow 0}\cos (x)=\cos (0)=1$$

Dann setzten wir einfach ein und bekommen dass $$\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot \cot (x)=1\cdot 1=1$$

muss ich das splitten weil zwischen sinx und cos eine Multiplikation ist??

muss ich das splitten weil zwischen sinx und cos eine Multiplikation ist??

wieso kann ich nicht einfach lim x/sinx * cos gegen null rechnen?

Man kann es auch so machen. In diesem Fall wenden man die De L'Hospital  Regel für x/sinx * cos an, also: 
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\cdot \cos (x)}{\sin (x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x\cdot \cos (x))'}{(\sin (x))'}$$ 

Sonst wenden wir die folgende Eigenschaft an $$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)$$

das kommt dann aber nicht hin wenn ich dann die erste Ableitung mache für x*cosx/ sinx?

das wäre dann ja -sinx/cosx =0/1

Es ist folgenderweise:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\cdot \cos (x)}{\sin (x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x\cdot \cos (x))'}{(\sin (x))'}$$

Um die Ableitung des Zählers zu berechnen wenden wir die Produktregel an: $$(x\cdot \cos (x))'=(x)'\cdot \cos (x)+x\cdot (\cos (x))' \\ =1\cdot \cos (x)+x\cdot (-\sin (x)) \\ = \cos (x)-x\cdot \sin (x)$$

Die Ableitung vom Nenner ist $$(\sin (x))'=\cos (x)$$


Wir bekommen also $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\cdot \cos (x)}{\sin (x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x\cdot \cos (x))'}{(\sin (x))'} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ \cos (x)-x\cdot \sin (x)}{\cos (x)} \\ =\frac{ \cos (0)-0\cdot \sin (0)}{\cos (0)} \\ =\frac{1-0}{1}=1$$

danke, dass ist für mich nachvollziehbar!

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x·COT(x) = x·COS(x)/SIN(x)

L'Hospital

(COS(x) - x·SIN(x)) / (COS(x)) = 1 - x·TAN(x)

Grenzwert für x --> 0

1 - 0·TAN(0) = 1

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keine ahnung was du da gerechnet hast mit l' Hospital

hast du die quotientenregel angewendet ??

Wenn dir die Grundlagen fehlen solltest du sie unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital

eventuell Nachlesen. Du kannst auch andere Seiten wie Youtube befragen.

ja, dass stimmt wohl. teilweise verstehe ich es aber anderweitig auch wie nicht. werd ich da nochmal belesen.

Nimm alles zur Hilfe was zur Verfügung steht. Youtube. Regelseiten etc.

Unter dem Stichwort L'Hospital solltest du viel finden inkl. gerechnete Beispielaufgaben.

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