Limes Berechnung Frage zur Vereinfachung

Question

Hi,

ich wollte den Grenzwert ermitteln und habe soweit auch vereinfacht, weiß jemand oder erkennt jemand, ob man das noch etwas vereinfachen kann?

$$\lim _{ n->\infty }{ \frac { \left( 1-n! \right) \left( n+1 \right) }{ \left( 1-\left( n+1 \right) ! \right) } }$$

Im Taschenrechner habe ich eine kleine Tabelle erstellt, aus der hervor geht, dass das ganze gegen 1 geht, aber ich dann ja jetzt nicht einfach schreiben Ausdruck (in Term) = lim n --> inf 1

$$\lim _{ n->\infty }{ \frac { \left( 1-n! \right) \left( n+1 \right) }{ \left( 1-\left( n+1 \right) ! \right) } } =\lim _{ n->\infty }{ 1 }$$

Answer 1

Hallo Fragensteller,

lim_n→∞   [ (1- n!) * (n+1) ] / [ (1 - (n+1)!) ]  

=   lim_n→∞  (    [  (1/n!  -  1) * n! * (n+1) ]  /  [ (1/(n+1)!  - 1) *  (n+1)!) ]  )

=  lim_n→∞   (  [  (1/n!  -  1) * (n+1)! ]  /  [ (1/(n+1)!  - 1) *  (n+1)!) ]  )

=  lim_n→∞   (  [  (1/n!  -  1) ]  /  [ (1/(n+1)!  - 1) ]   )

=      [ 0 - 1 ]  /  [ 0 - 1 ]   

=  1

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falls die vielen Klammern nerven:

lim_n→∞   $\frac{(1 - n!)·(n+1)}{1-(n+1)!}$ 

             Im Zähler n!  und im Nenner (n+1)! ausklammern:

 =   lim_n→∞   $\frac{(1/n! - 1) · n! ·(n+1)}{(1/(n+1)! - 1)·(n+1)!}$ 

              Ersetzen:  n! * (n+1) = (n+1)!  

=   lim_n→∞   $\frac{(1/n! - 1) · (n+1)!}{1/(n+1)! - 1) · (n+1)!}$ 

              Kürzen duch (n+1)! :  

=   lim_n→∞   $\frac{1/n! - 1}{1/(n+1)! - 1}$ 

 =  $\frac{0 - 1}{0 -1}$ 

=  1

Gruß Wolfgang  

Comments

Nochmal kurz zum ersten Schritt, mit was hast du da erweitert?

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Keine Erweiterung!

Ich habe im Zähler n! ausgeklammert und im Nenner (n+1)!

Danach gilt im Zähler   n! * (n+1) = (n+1)!

Dann kann man durch  (n+1)!  kürzen.

Habe das jetzt in die Antwort eingearbeitet.

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Super, danke Wolfgang!

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