Integral von (1+x^2)^{3/2} erklären. Substitution

Question

Hey:)

Könnt ihr mir erklären, wie man auf das Ergebnis hier kommt, weil ich hab es echt versucht. Nur ich scheitere daran...

Comments

Substitution ist vermutlich nicht direkt zielführend.

Man könnte vielleicht ein Produkt  erfinden (1*Wurzel) und dieses partiell integrieren. 

usw. 

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Wenn man mit der Substition beginnt

∫ (1 + x^2)^{3/2} dx

 

Subst.

x = TAN(u)

dx = (1 + TAN(u)^2) du

 

∫ (1 + TAN(u)^2)^{3/2}·(1 + TAN(u)^2) du

∫ (1 + TAN(u)^2)^{5/2} du

∫ (1/COS(u)^2)^{5/2} du

∫ (COS(u)^-2)^{5/2} du

∫ COS(u)^{-5} du

Nun hat man aber das Problem das man hier jetzt reduzieren musste. Es gibt da zwar eine Reduktionsformel aber die hatte ich persönlich nie. Ich weiß aber das es auch anders ging. Hab es nur vergessen.

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x=sinh(t)

dx/dt= cosh(t)dx= cosh(t)dt
(1+x^2)^{3/2}dx=(1+sinh^2(t))^{3/2}cosh(t)dt=cosh^4(t)dt=cosh^2(t)*cosh^2(t)
Das kann man dann wohl partiell Integrieren,man benötigt die Stammfunktion von cosh^2(t)

welche man z.B hier findet: 

https://www.mathelounge.de/23221

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Die Reduktionsformel wäre

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Wie kommst du genau auf cosh^4?:)

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mit dem hyperbolischen Pythagoras:

1=cosh^2(t)-sinh^2(t)

umgestellt ergibt das 1+sinh^2(t)=cosh^2(t)

dadurch hebt sich die Wurzel weg, dann hat man cosh^3(t)*cosh(t) im Integral = cosh^4(t)

Answer 1

hast Du diese Aufgabe erfunden ?

wenn ich mich nicht verrechnet habe , der folgende Weg ,ist aber sehr schreibintensiv.

Ansonsten wenn Ihr Reduktionsfomeln benutzen könnt , dann eher darüber.