Integral gebrochenrationaler Funktionen mit Polynomdivision

Question

Aufgabe:

\( \int \frac{3 x^{4}+6 x^{3}+9 x^{2}+4 x+2}{3 x^{3}+3 x^{2}+3 x} \mathrm{d} x \quad \) für \( x>0 \)

Ansatz:

Ich hab Polynomdivision angewendet und folgendes raus:

 x+1 + (3x^2+x+2)/(3x^3+3x^2+3x)

So und jetzt kann ich ja einfach das Integral von x+1 und dann einmal das Integral von diesem Bruch.

Dann wäre es für x+1 die Stammfunktion ln|x+1| und für den Bruch weiß ich jetzt nicht weiter.

Answer 1

$$ \int \frac{3 x^{4}+6 x^{3}+9 x^{2}+4 x+2}{3 x^{3}+3 x^{2}+3 x} d x \text { für } x>0\\ =\int\left(x+1 \frac{3 x^{2}+x+2}{3 x^{3}+3 x^{2}+3 x}\right) d x\\ =\int x\quad  dx+\int 1\quad d x \quad\frac{3 x^{2}+x+2}{3 x^{3}+3 x^{2}+3 x}\\ =\frac{x^{2}}{2}+x\text{ Rest Partialbruchzerlegung: }\\ \begin{array}{l}{=\int \frac{3 x^{2}+x+2}{3\left(x^{3}+x^{2}+x\right)}} \\ {=\frac{1}{3} \int \frac{3 x^{2}+x+2}{x^{3}+x^{2}+x}} \\ {=\frac{1}{3} \int \frac{3 x^{2}+x+2}{x\left(x^{2}+x+1\right)}} \\ {=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1} \quad \text { usw. }}\end{array} $$                                               

Comments

Kommt da für A=2/3 , B=1 und C=-1 raus?:)

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@sonnenblume123. Kontrolliere das schon mal selbst:

Hast du den Bruch schon bei Wolframalpha eingegeben?

Was kommt dort raus für A, B und C?

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Wie kann ich das eingeben, dass das da steht?

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 A = 2 , B = 1 und C = - 1

Partialbruchzerlegungen kannst  du hier (mit Lösungsweg) kontrollieren:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

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Noch eine kurze Frage. Wieso ist beim B ein x? :)

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https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Komplexe_Polstellen