Hauptachsentransformation einer 2x2 Matrix

Question

  ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Ich habe bei der (1) bereits:

g=(1/√(2)* (1,1)^T,  =(1/√(2)* (-1,1)^T)

Und für g^-1Ag = diag(4,16)

bei der 3(a) habe ich für die Matrix B (falls das so richtig ist)

da für A=g*diag(4,16)*g^-1 gilt für B=g*√diag(4,16)*g^-1

Bei der (2) und der 3(b) komme ich nicht weiter.. Wäre nett wenn jemand helfen könnte...

Comments

Ich unterstelle mal, dass \(O_2\) eine 2x2-Orthogonalmatrix ist und \(M_2(\mathbb{R})\) eine 2x2-Matrix mit Elementen aus \(\mathbb{R}\) ist. Aber was ist \(GL_2(\mathbb{R})\) ?

Zu 1) mit

$$g = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \space \in O_2$$

ist

$$g^{-1} \cdot A \cdot g = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}$$

---

Also das \(GL_2(\mathbb{R})\) hat mich auch verwirrt. Aber in meinem Skript steht das g=(w₁  w₂) ∈  \(GL_2(\mathbb{R})\)

mit w sind die durch das gram-schmidt-verfahren normalisierten Vektoren gemeint 

---

3a ist zwar richtig, ich hätte es aber so begründet. Wenn \( A = B^2 \) gelten soll, folgt

$$ T^t A T = T^t B T T^t B T = (T^t B T)^2 = D = \begin{pmatrix}  4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^2  $$ Also folgt $$  B = T \begin{pmatrix}  4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} T^t = \begin{pmatrix}  3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

Jetzt musst Du noch für die Abbildung $$ s(v,w) = <v,B w>  $$ nachweisen, dass dies eine positiv definte symmetrische Bilenearform ist

Symmetrie:

$$  <v,B w> = v^t B w = w^t B^t v   =(B w)^t v = <B v,  w> $$

Positiv Definitheit:

$$  <v, B v> = v^t T D T^t v  $$ mit \( D = \begin{pmatrix}  4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}  \) Es gibt  aber eine Matrix \( C \) mit \( C^2 = D \) nämlich \( C = \begin{pmatrix}  2 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}  \)

Also gilt weiter $$  <v, B v> = v^t T C C T^t v = (C T^t v)^t (C T^t v) > 0 $$ für \( v \ne 0 \)

Den Rest kannst Du selber.

Answer 1

$$  \text{GL}_n(\mathbb{R})  $$ ist die allgemeine lineare Gruppe, siehe hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine_lineare_Gruppe

Da die gefunden Eigenvektoren schon orthogonal sind, musst Du die Vektoren nur noch normieren und dann hast Du eine orthonormale Matrix für die gilt \( g'^T = g^{-1} \)

Comments

Also ich habe ja schon gram schmidt angewendet, daraus resultierte: g=(1/√(2)* (1,1)^T,  (1/√(2)* (-1,1)^T)

---

Und für die Matrix gilt \( g' = g^{-1} \) und \( g'^T A g' = \begin{pmatrix}  16 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \)

---

Da wäre ja dann sozusagen die selbe Matrix wie bei der (1)?

---

Weil D in Teil 1 auch schon die Eigenvektoren normiert hast. Hättest Du aber nicht machen müssen. Z.B. die Matrix \(  T =  \begin{pmatrix}  1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}   \) diagonalisiert die Matrix \( C \) auch. Aber es gilt nicht \( T^{-1} = T^T \)

---

Ah ok. Ich habe mich da nach einem Beispiel gerichtet, was wir in der Übung gemacht haben. Da haben wir das volle Programm also mit Gram-Schmidt etc. gemacht. Aber meine Variante wäre dann ja sozusagen nicht falsch oder? Ich hätte ja dann nur bereits in der (1) die Vektoren schon normiert.

---

Also ich brächte noch Hilfe bei der (b).. sofern die (a) richtig ist..