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Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung und berechnen Sie den Wert der freien Konstante für die angegebenen Nebenbedingung.

y ′ = −7y + 2x

P(1|4)

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Wir betrachten erstmal die homogene DGL und wenden dann die Trennung der Variablen an: y=7ydydx=7ydyy=7dx, , y0dyy=7dxlny=7x+celny=e7x+cy=e7xecy=±ece7xyH=Ce7x,  wobei  C : =±ecy'=-7y \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-7y \\ \Rightarrow \frac{dy}{y}=-7dx ,\ , \ y\neq 0 \\ \Rightarrow \int \frac{dy}{y}=\int -7dx \\ \Rightarrow \ln |y|=-7x +c \\ \Rightarrow e^{\ln |y|}=e^{-7x +c} \\ \Rightarrow |y|=e^{-7x} e^c \\ \Rightarrow y=\pm e^ce^{-7x} \\ \Rightarrow y_H=Ce^{-7x}, \ \text{ wobei } \ C:= \pm e^c 

Diese Lösung bekommen wir wenn y≠0. Wir müssen noch den Fall y=0 betrachten. Wir sehen dass y=0 die homogene DGL erfüllt. Das bedeutet dass yH=0 auch eine Lösung der homogene DGL ist. 

Da der inhomogene Teil der Gleichung eine Konstante ist, betrachten wir eine konstante als partikuläre Lösung, also yP=K. Das setzen wir in der DGL ein: y=7y+2(K)=7K+20=7K+2K=27y'=-7y+2 \Rightarrow (K)'=-7K+2 \Rightarrow 0=-7K+2 \Rightarrow K=\frac{2}{7} 

Die allgemeine Lösung des DGL ist die Summe der Lösung der homogenen Gleichung yH und der partikulären Lösung: y=yH+yP=Ce7x+27y=y_H+y_P=Ce^{-7x}+\frac{2}{7} 

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Hallo MM,

(welches ist dein Vorname? :-) ) 

> C:= ± ec   " unterschlägt "   die Lösung yh = 0   und damit  die konstante Lösung  y = 2/7  der inhomogenen DGL. 

Wegen der Division durch y  musst du diese durch Einsetzen in die homogene DGL gesondert untersuchen.

Liebe Grüße   Wolfgang

Hallo Wolfgang, 

mein Vorname ist Marianthi :-) 

Ich habe meine Antwort bearbeitet. 

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