Wir betrachten erstmal die homogene DGL und wenden dann die Trennung der Variablen an: y′=−7y⇒dxdy=−7y⇒ydy=−7dx, , y=0⇒∫ydy=∫−7dx⇒ln∣y∣=−7x+c⇒eln∣y∣=e−7x+c⇒∣y∣=e−7xec⇒y=±ece−7x⇒yH=Ce−7x, wobei C : =±ec
Diese Lösung bekommen wir wenn y≠0. Wir müssen noch den Fall y=0 betrachten. Wir sehen dass y=0 die homogene DGL erfüllt. Das bedeutet dass yH=0 auch eine Lösung der homogene DGL ist.
Da der inhomogene Teil der Gleichung eine Konstante ist, betrachten wir eine konstante als partikuläre Lösung, also yP=K. Das setzen wir in der DGL ein: y′=−7y+2⇒(K)′=−7K+2⇒0=−7K+2⇒K=72
Die allgemeine Lösung des DGL ist die Summe der Lösung der homogenen Gleichung yH und der partikulären Lösung: y=yH+yP=Ce−7x+72