Beweisen Sie, dass ein C ∈ ℝ existiert, so dass f(x) = Cex für alle x ∈ (a, b) gilt.

Question

Sei f : (a, b) → ℝ eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft f = f ′. Beweisen Sie, dass ein C ∈ ℝ existiert, so dass

f(x) = Ce^x für alle  x ∈ (a, b) gilt.

Hinweis: g(x) = f(x) · e^−x

Comments

Mit dem g aus dem Hinweis sollst Du was machen. Was wohl?

Answer 1

definiere die Funktion $h$ durch $h(x)=\operatorname e^{-x}\cdot f(x)$. $h$ ist differenzierbar und wegen $f=f^\prime$ gilt $h^\prime(x)=0$. Es existiert daher ein $C\in\mathbb R$ mit $h(x)=C$ für alle $x$. Es ist also $\operatorname e^{-x}\cdot f(x)=C$ und damit $f(x)=C\cdot\operatorname e^x$.

MfG

Answer 2

verwende den Tipp und leite beide Seiten ab:

$$g(x)=f(x)e^{-x}\\g'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=0\\\to f(x)e^{-x}=C\\f(x)=Ce^{x}$$