Hermitesche Skalarprodukte

Question

Hallo ! Ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe :

Zu zeigen :
|| u + v ||^2 + ||u-v||^2 = 2*||u||^2 + 2*||v||^2

Ich habe den Beweis :

|| u + v ||^2 + ||u-v||^2 = <u+v,u+v> + <u-v,u-v> aber ich weisst nicht wie die Addition zu machen.

Kann jemand mir helfen ?

Answer 1

<u+v,u+v> + <u-v,u-v>

Da musst du die Linearität

https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Sesquilinearform#Definition

des Skalarproduktes benutzen, dann hast du etwa


<u+v,u+v>   wegen Additivität im ersten Argument

=<u,u+v> + <v,u+v>  und   wegen Additivität im zweiten Argument

=<u,u> + <u,v> + <v,u+v>   und   nochmal

=<u,u> + <u,v> +<v,u> + <v,v>

Das gleiche machst du entsprechend mit  <u-v,u-v>

und addierst dann alles und bedenkst ||u||²  =<u,u>