Zeigen Sie, dass es sich um eine Gruppe handelt

Question

Vor mir liegt eine Aufgabe zur Gruppentheorie, bei der ich nicht weiterkomme

Es geht also um Z5, also um die Menge {0,1,2,3,4} richtig?

Kann mir vielleicht jemand zeigen, wie ich zeigen kann, dass es sich um eine Gruppe handelt?

Denke schon mal!

Answer 1

Du weist die Gruppenaxiome nach.

Erst mal die Abgeschlossenheit:

sind also a, b aus  ℤ/5ℤ  gegeben, dann gibt es immer genau einen

Vertreter  x aus  M₅= {0,1,2,3,4} , so dass a +₅ b  = x ist .

Dann Assoziativität ( folgt im Wesentlichen aus der Ass. der

Addition in ℤ ) und Existenz von neutralem Element ( das ist 0 +5ℤ )

und zu jedem ein Inverses, das wäre für

0 +5ℤ  auch wieder 0 +5ℤ  und

4+5ℤ   für  1 +5ℤ

3 +5ℤ  für 2 +5ℤ   etc.