Wie löse ich die Gleichung mit zwei Wurzeln nach x auf? Verstehe nicht wieso man nicht einfach quadrieren kann

Question

Wurzel(2x+5)- Wurzel(4x-4) +1=0

Ich brauche eine ausführliche Erklärung und ich verstehe nicht wieso man nicht einfach quadrieren kann. Die Lösung schicke ich in einer Datei mit die ist mir nicht ganz verständlich

Answer 1

ich verstehe nicht wieso man nicht einfach
quadrieren kann.

Auch möglich

Wurzel(2x+5)- Wurzel(4x-4) +1=0

Wurzel(2x+5)- Wurzel(4x-4) = -1  | quadrieren
2x + 5 - 2 * Wurzel(2x+5) * Wurzel(4x-4) + 4x - 4 = 1
- 2 * Wurzel(2x+5) * Wurzel(4x-4) = 1 - 4 x + 4 - 2x - 5
- 2 * Wurzel(2x+5) * Wurzel(4x-4) = - 6 x
Wurzel(2x+5) * Wurzel(4x-4) = 3 x  | quadrieren
(2x+5) * (4x-4) = 9 x^2 
8 x^2 - 9x^2 + 12x - 20 = 0
- x^2 + 12x - 20 = 0
x = 2
x = 10

Comments

ich dachte beim quadrieren wird die wurzel weggelassen und die zahlen außerahlb der klammer quadriert, aber wieso schreibt man sich den Wurzelterm nochmal auf ?

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Der Term auf der linken Seite der Gleichung wird wie die 1. Binomische Formel berechnet.  a ist hier $$\sqrt{ 2x+5 }$$ und b ist 1. Also erhältst du

$$(\sqrt{ 2x+5 })^2 + 2*\sqrt{ 2x+5 }*1 + 1^2$$

⇔  $$  2x + 5 + 2*\sqrt{ 2x+5 } + 1$$

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Wenn du nur 1 Wurzeltern hast fällt dieser
durch das quadrieren weg.

( √ term )^2 = term

Falls du eine Summe von 2 Wurzeltermen hast
bleibt ein Wurzelterm bestehen und es muß
eventuell  nochmals quadriert werden

( √ term1 + √ term2 )^2
√ term1 * √ term1 + 2 * √ term1 * √ term2  + √ term2 * √ term2
term1 + 2 * √ ( term1 * term2) + term2

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Schreibe ich deshalb den Term wie in der musterlösung einmal ohne wurzel und dann diesen multipliziert mit dem wurzelterm und später nochmal quadrieren ?

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Wurzel(2x+5)- Wurzel(4x-4) +1=0

In der Musterlösung wurde eine Wurzel
auf die andere Seite gebracht und dann quadriert.

Wurzel(2x+5) +1= Wurzel(4x-4)  | quadrieren

Es kommt dasselbe heraus. Um ein zweimaliges
quadrieren kommst du nicht herum.

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Hallo Georg,

> Wurzel(2x+5)- Wurzel(4x-4) +1=0    #  

....

x = 2 
x = 10 

#   ⇒  (!)    x = 2   oder   x = 10 

Nach dem Quadieren ist aber eine Probe in der Ausgangsgleichung notwendig, und die ist für x = 2 falsch.

L = { 10 }

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,
diese Tatsache wurde schon in der
Musterlösung, die der Fragestellerin auch bekannt ist,
angeführt. Deshalb habe ich es nicht mehr erwähnt.

mfg Georg

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Du hast mich überzeugt :-)

Answer 2

Wieso?

Es wird doch quadriert, schon in der 2. Zeile.

Tipp:

Zum sinnvollen Quadrieren muss man immer eine Wurzel separieren auf einer Seite.