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Ich sitze hier schon seit einer knappen Stunde dran und weiß nicht wie ich die Aufgaben lösen soll:


Wir definieren eine Folge (an) rekursiv durch:

a1 := √(2)

an+1 := √(2+an)

 

a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Für alle n € IN ist an< 2

b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Die Folge (an) ist streng monoton wachsend.

c) Zeigen Sie, dass (an) eine konvergente Folge ist und lim(n-->unendlich) von an = 2 gilt.

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a) Du stellst eine Gleichung auf und schaust, unter welcher Bedingung an+1 kleiner ist als 2:
√(2+an) < 2

2+an < 4

an < 2

Falls also an kleiner war als 2, dann ist auch an+1 kleiner als 2. Da a1 kleiner ist als 2, ist an also für jedes beliebige n kleiner als 2.

 

b) Du musst zeigen, dass an+1 > an gilt.

an+1 > an

√(2+an) > an

2+an > an2

an2-an-2 < 0

Bei einer quadratischen Ungleichung betrachtet man am besten erstmal die Gleichung und entscheidet dann, für welche Bereiche die Ungleichung erfüllt ist:

an2-an-2 = 0

an1,2 = 1/2 ± √(1/4+2) = 1/2 ± 3/2

an1 = 2

an2 = -1

Die Ungleichung ist nun erfüllt, wenn an im Intervall (-1, 2) liegt. Da der Anfangswert √2 in diesem Intervall liegt, ist die Folge anfangs also monoton wachsend. Wie wir in a) gezeigt haben, ist sie aber durch 2 nach oben beschränkt, wird dieses Intervall also niemals verlassen.
Die Folge ist also monoton wachsend für alle n aus ℕ.

c) Wir wissen: jede monotone, beschränkte Folge besitzt einen Grenzwert g.

Für diesen Grenzwert g muss gelten: setzt man ihn in die Bildungsvorschrift ein, dann kommt wieder g heraus.

g = √(g+2)

g2 = g+2

g2-g-2 = 0

Das ist genau die Gleichung, die wir eben schon gelöst haben. Die Folge hat also zwei mögliche Grenzwerte:

-1 und 2.

Da wir aber eben bereits gezeigt haben, dass die Folge monoton wachsend ist, kommt nur 2 als Grenzwert in Frage.

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