Ich habe gerade gesehen, dass sich die meisten Deiner bisherigen Fragen mit Vektorrechnung beschäftigen. Du kannst diese Aufgabe natürlich auch so lösen:
Im Dreieck \(ASE\) gilt
$$\vec{AS} + \vec{SE} = \vec{AE}$$Sei \(s=DS:DE\) und \(r=AS:AF\) und \(a=\vec{AB}\) sowie \(b=\vec{AD}\), dann ist:
$$r(a + \frac{1}{2}b) + (1-s)(\frac{4}{5}a - b) = \frac{4}{5}a$$ Sortieren nach \(a\) und \(b\) gibt:
$$a(r - \frac{4}{5} s) + b(\frac{1}{2}r - 1 + s)=\vec{0}$$ Damit die Gleichung immer erfüllt ist, mussen die Faktoren vor \(a\) und \(b\) gleich 0 sein. Damit erhält man zwei Gleichung mit den Unbekannten \(r\) und \(s\) und den Lösungen:
$$r = \frac{4}{7} \quad s=\frac{5}{7}$$
und daraus folgen die Verhältnisse für die Teilstrecken
$$AS:SF = r : (1-r)=\frac{4}{7} : \frac{3}{7}= 4:3$$
$$DS:SE = s : (1-s)=\frac{5}{7} : \frac{2}{7}= 5:2$$
PS.: Du kannst ja mal die erste Lösung (die ohne Vektoren) Deinem Lehrer präsentieren und uns dann schreiben wie er reagiert hat ;-)
